聲音是一種波動，我們聽到的聲音是透過空氣振動將波動傳到我們耳朵裡。若畫出某處空氣震動隨時間(或位置)而起伏變化，則可以看到波的形狀，亦即波形。如果波形是簡單的正弦波，則對應的頻譜僅有單一的頻率位置有聲音強度；如果波形較複雜(例如講話的聲音或樂器聲等等)，波形由許多頻率組成，在頻譜中許多頻率位置都會有聲音強度。如圖一所示。 

圖一、正弦波與橫笛聲音的波形與頻譜。正弦波僅有單一的頻率組成，在頻譜中只有在一頻率位置有聲音強度；橫笛吹奏出的聲音波形較複雜，波形由許多頻率組成，在頻譜許多頻率位置都有聲音強度。

樂器的聲音會與它的形狀、尺寸、材質等等有關。以最簡單的管子(一邊開口，一邊封閉)吹奏出聲音為例，空氣在管子中的震動會有特定的共振頻率，因此聽到的聲音會主要呈現這些特徵頻率。學員可以用不同長度的吸管吹奏，觀察這些聲音的波形如何隨管子長度改變。對一邊開口一邊封閉的管子而言，最低的共振頻率f0對應的波長λ為管長L的4倍(L = λ/4)，如圖二所示。

圖二、一邊開口一邊封閉的管子，其產生共振時開口端的駐波振幅最大，封閉端為駐波節點(振幅最小)。因此滿足的共振條件為 L = 3λ/4、5λ/4 、7λ/4等等。 

此外L = 3λ/4、5λ/4、7λ/4等等也滿足共振條件，因此3f0、5f0、7f0等等也會是共振頻率。如果聲音的傳遞速率為v，則速率v = 波長λ x頻率f。因此，最低共振頻率f0 = v/λ = v/4L。對一10公分(0.1公尺)長的管子，若聲音傳遞速率v約為340公尺/秒，則最低共振頻率f0 = 340/(4 x 0.1) = 850 Hz。學員可觀察驗證 f0 = v/4L 的關係，也觀察頻譜中其他高頻的共振頻率。

另外，當發出頻率為 f0 的聲源以 vs 的速率“朝向”觀察者移動時，觀察者聽到的聲音頻率為 f，兩頻率間的關係為:

【公式一】

其中v為聲音的傳播速率。

反之，當發出頻率為 f0 的聲源以 vs 的速率“遠離”觀察者移動時，觀察者聽到的聲音頻率為: 

【公式二】

這樣的頻率變化可以由下圖定性解釋。當波源產生週期性的波動時，波會以波源為起點一圈圈以速率v朝外傳遞。如果波源不動，一圈圈的波動形成間隔為波長()的同心圓球面。但是如果波源朝右邊移動，則朝外擴展的波不是形成同心圓球面，而是越內層的球面中心點位置越往右，如圖三。如此，右邊的觀察者觀察到的波長比較短；左邊的觀察者觀察到的波長比較長。因為觀察者聽到的聲音仍是以相同速率v傳遞，而 傳播速率 = 波長 x 頻率，因此右邊的觀察者觀察到的波長變短，頻率f變高；左邊的觀察者觀察到的波長變長，頻率f變低。 

【圖三】

圖三、波源往右移動時，右方的波長變短，左方的波長變長。因此右邊的觀察者聽到的聲音頻率變高；左邊的觀察者聽到的聲音頻率變低。

較完整的都卜勒效應也包含了觀察者以速率 vO 移動的狀況，此時觀察者觀察到的頻率可以寫成： 

【公式三】

其中，分子中的“加減號”在觀察者往波源前進時用“加”，而在觀察者遠離波源移動時用“減”；分母中的“加減號”在波源往觀察者前進時用“減”，而波源遠離觀察者移動時用“加”。

實驗上，為了觀察聲音頻率的變化，我們可以透過電腦內建的麥克風及音效卡，將聲音轉換成螢幕上能呈現的波動訊號。其中，麥克風乃將空氣中的聲波震動轉換成電壓的變化，而音效卡則將電壓變化的類比訊號轉換成電腦裡的數位訊息。除了觀察聲音的波形，亦即聲音震盪隨時間的變化之外，我們也可以將聲音波形轉換成頻譜，亦即聲音中各種頻率成分的震盪幅度。此可透過電腦做快速傅立葉轉換（Fast Fourier Transform, FFT）得的。從頻譜中，也可以得到聲音的主要頻率峰值(如圖四)。透過波形與頻譜的觀察，能讓學子了解波形與頻譜的關聯。當波源移動時，透過程式可觀察到頻譜左右偏移(shift)，聲音頻率產生改變。經過公式換算，可以得到此頻率變化對應的波源移動速率。

【圖四】

圖四、以麥克風接收波源的聲音(此例以手機輸出16 kHz正弦波)，得到其波形(左上圖)。雖然波形中有背景聲音之干擾，但頻譜中16 kHz訊號相當乾淨 (中上圖)。當波源移動時，接收到的頻率會隨時間改變(中下圖)。經過公式換算，可以得到此頻率對應的移動速率(左下圖)。可以設定當速率大於一數值，電腦攝影鏡頭即自動拍照(如右圖)。

圖四的程式乃使用美商儀器公司(National Instruments, NI)的軟體 LabVIEW 撰寫，其可以很輕易將電腦改造成科學儀錶。只要簡單的程式，即可從電腦麥克風讀取輸入波形並求得其頻譜，顯示在電腦畫面上。也可記錄其頻率變化並換算成波源移動速率。此程式也控制筆記型電腦的WebCam攝影鏡頭，在達到超速條件時自動拍照。LabVIEW為容易理解及撰寫的圖型化程式，只要稍加訓練，學生或中小學老師可以很簡單的學習LabVIEW程式。圖四的範例程式可提供給執行學校師生，在安裝有LabVIEW免費試用版的電腦上執行；也可以直接使用範例程式產生的執行檔(.EXE)，直接在一般筆記型電腦上執行。各校種子學生也可以設計專屬的闖關模式，修改程式內容。

除了使用LabVIEW程式，執行學校也可下載安裝電腦軟體 Soundcard Oscilloscope (下載網址 https://www.zeitnitz.eu/scope_en )，或使用智慧型手機下載安裝軟體Sound Analyser PRO (下載網址https://play.google.com/store/apps/details?id=com.zephyr.soundAnalyserPRO

 )，來觀察聲音波形與頻譜。

本實驗中的波源可以使用智慧型手機，透過免費的軟體使手機的喇叭發出特定頻率的聲音。例如Android手機的App軟體 “Signal Generator”(下載網址 https://play.google.com/store/apps/details?id=com.xyz.signal)，可以使手機喇叭發出多種聲音波形，並設定其頻率。

【圖五】

圖五、Android手機的App軟體 “Signal Generator”，可以使手機喇叭發出多種聲音波形，並設定其頻率。