Teoria del caos e dei sistemi

(anno 2007)

I SISTEMI

Un sistema è una combinazione di parti interdipendenti che concorrono ad un certo risultato, riunite in maniera da formare un tutto coerente ( sistema nervoso, solare, informatico etc).

In natura esistono sistemi lineari e non lineari.

I sistemi lineari possono essere analizzati, fatti a pezzetti e ricomposti senza distorsioni; l’insieme, nel sistema lineare, non è nulla di più della somma delle sue componenti.

I sistemi non lineari, invece, sono molto più difficili da analizzare, poiché le loro parti possono essere comprese solo studiando l’organizzazione, lo schema, la struttura (pattern) del tutto.

In un sistema non lineare il tutto è maggiore della somma delle parti.

In natura sono molto più comuni i sistemi non lineari complessi che amalgamano regolarità ad irregolarità (foreste, catene montuose, galassie etc).

La teoria dei sistemi studia questa complessità adottando un approccio olistico, spostando l’attenzione dalla parte al tutto, dalle parti alle connessioni fra loro. La natura è vista come una trama interconnessa di relazioni di cui fa parte anche l’osservatore. Lo studio dei sistemi non lineari si occupa dei sistemi aperti in grado cioè di scambiare informazioni con l’ambiente.

Questa ricerca ha portato al concetto di auto-organizzazione.

L’auto-organizzazione in un sistema dinamico necessita di un flusso costante di energia e materia che attraversi il sistema stesso, avviene soltanto lontano dall’equilibrio e genera nuove strutture, nuovi comportamenti manifestando proprietà creative.

Ilya Prigogine introdusse il termine “strutture dissipative”, mostrando che nei sistemi aperti lontani dall’equilibrio la dissipazione diviene fonte di ordine e nuova complessità.

Le parti si comportano come un tutto cooperando fra loro: l’acqua forma geometrie ordinate trasformandosi in ghiaccio, i materiali ferromagnetici portati a basse temperature allineano tutti i loro micromagneti ordinatamente, gli elettroni si comportano in modo coordinato in un superconduttore, nel laser i fotoni si organizzano su scala globale producendo onde in fase, nei sistemi viventi i diversi componenti di un organismo cooperano e si auto-organizzano per adempiere ad una funzione unitaria coerente.

Sembra esserci un qualche tipo di principio organizzatore non locale e ancora sconosciuto nei processi di auto-organizzazione.

La teoria dei sistemi detta anche “matematica della complessità”, “dinamica non lineare”, “teoria dei sistemi dinamici”, “dinamica complessa”, è una teoria i cui concetti e le cui tecniche si applicano ad un ampia gamma di fenomeni.

Lo stesso vale per la teoria del caos e dei frattali che sono due branche della teoria dei sistemi.

La matematica che viene usata è una matematica delle configurazioni, delle strutture, non è quantitativa ma qualitativa e si avvale di equazioni non lineari.

Stiamo scoprendo che i sistemi non lineari comprendono gran parte del mondo che ci circonda e dell’universo intero.

Nel mondo non lineare semplici equazioni possono produrre comportamenti e strutture varie e ricche, il comportamento caotico dà origine a strutture ordinate ed a schemi belli e di grande delicatezza.

I sistemi dinamici caotici infatti presentano un profondo livello di schemi di ordine.

D. Bohm pose l’accento sull’esistenza di ordine “coinvolto”, “implicito”, nascosto tra le pieghe della natura che si rivela mentre l’universo si evolve, permettendo all’organizzazione di fare la sua comparsa.

La natura ha la predisposizione a progredire lungo certe linee generali, lasciando aperta però l’inconoscibilità del futuro, la possibilità di creatività e di novità infinite ( libero arbitrio).

CAOS

Le basi della teoria del caos furono poste agli inizi del secolo scorso da Jules Henri Poincarè, uno dei più grandi matematici dell’era moderna.

Egli analizzò gli aspetti qualitativi di problemi dinamici complessi e dimostrò che semplici equazioni deterministiche possono produrre un’incredibile complessità che resiste ad ogni tentativo di previsione.

Infatti cercando di risolvere il cd “problema dei tre corpi” consistente nel calcolare (data la posizione iniziale, la massa e la velocità di tre corpi) l'evoluzione futura sotto l'influsso della loro reciproca attrazione gravitazionale asserì che tre oggetti soggetti alla gravitazione universale di Newton hanno una traiettoria che dipende fortemente dalla condizione iniziale ma nessuno potrà mai determinare esattamente il destino di questi corpi, poiché la minima perturbazione nelle misure comporterebbe irrimediabilmente una grande differenza nelle traiettorie.

Queste valutazioni sono all'origine della teoria del caos di cui alcune caratteristiche fondamentali sono: la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, la formazione dell' attrattore strano, di struttura frattale, inteso come l’ insieme verso il quale evolve un sistema dinamico e che permette di tradurre dati apparentemente casuali in figure visibili e definite,come scoprì per primo Edward Lorenz nel 1963.

Fu infatti nella seconda metà del ‘900 che vennero gettate definitivamente le basi per una vera e propria teoria del caos.

Il meteorologo Edward Lorenz che lavorava all’ MTI, nel corso di una simulazione del clima, con il suo primitivo computer, ripeté la stessa simulazione ogni volta con valori leggermente diversi.

Ad ogni piccola variazione quella che sembrava inizialmente appena una perturbazione, dopo una prima somiglianza iniziale, portava ad un modello climatico completamente diverso.

Ne derivò che se in un sistema dinamico lineare piccole variazioni dei suoi parametri di ingresso comportano piccole variazioni dei parametri di uscita, in un sistema dinamico non lineare anche piccoli cambiamenti all'ingresso del sistema possono causare grandi effetti all'uscita.

In un sistema dinamico non lineare la traiettoria copre nel c.d. spazio delle fasi un'area sempre più piccola fino a ricoprire e ricadere in una zona detta attrattore.

Nella rappresentazione grafica dei dati Lorenz scoprì che il sistema evolveva lungo traiettorie che, seppur diverse ogni volta, avevano un aspetto ordinato e regolare.

Nel caso specifico la figura che si otteneva aveva una forma a farfalla, per cui l'imprevedibilità dei sistemi caotici fu denominato anche effetto farfalla.

Un’altra figura di grande importanza nello studio teorico del caos è stato il fisico Mitchell Feigenbaum il quale scoprì che molti sistemi si avvicinano al comportamento caotico attraverso un raddoppiamento di periodo ( 2,4,8,16…) che determina il passaggio dalla quiete alla turbolenza e che la transizione verso il caos manifesta caratteristiche universali.

Ciò significa che sistemi anche molto diversi fra loro si comportano nello stesso modo.

Il caos insorge in un’ampia gamma di sistemi dinamici che variano dal battito cardiaco ad un rubinetto che gocciola ad una stella che pulsa ma segue sempre le stesse regole.

La progressiva cascata di raddoppiamenti del periodo rappresentata su un grafico forma una curva detta “biforcazione” e segnala l’inizio del primo raddoppiamento di periodo che rapidamente aumenta raggiungendo un’infinità di ramificazioni.

Ciò rappresenta l’inizio del caos.

Nel 1978 Feigenbaum scoprì che 3,5699 è il valore critico in cui, in ogni sistema dinamico, inizia il caos; nel grafico se si confrontano gli spazi fra ramificazioni suc-cessive si trova che ciascuno di essi è leggermente più piccolo di 1/4 di quello precedente; più precisamente nell’avvicinarsi al punto critico il rapporto tende al valore 1/4,669201. Inoltre la relazione numerica che governa la velocità di rimpicciolimento degli spazi verticali fra i “ denti dei forconi” è di 2/5 di quello precedente, più preci-samente 1/2,5029. L’importanza di questa scoperta non risiede nel valore dei numeri quanto nel fatto che queste regolarità numeriche si incontrano in contesti completamente differenti e rappresentano evidentemente una proprietà universale e fonda-mentale dei sistemi caotici. Scopriamo un disordine ordinato, un ordine camuffato da casualità.

Un’altra caratteristica importante è che ogni singola parte in un punto di biforcazione è autosomigliante.

FRATTALI

Gli attrattori strani evidenziano una struttura frattale ovvero una struttura ben organizzata che mantiene a diverse scale le proprie caratteristiche.

La natura aderisce meglio alla geometria frattale che a quella classica.

Possiamo vederne degli esempi nel profilo delle foglie, nello sviluppo dei coralli, nella forma dei fulmini e delle nubi, nella forma delle montagne, nella forma del cervello, nella ramificazione dei vasi sanguigni e via discorrendo.

La complessità sembra comunque rispettare delle regole.

Le immagini frattali non sono altro che delle rappresentazioni grafiche di equazioni matematiche.

Le prime rappresentazioni geometriche e matematiche di figure frattali furono eseguite, sempre nei primi del ‘900, da Gaston Julia e Helge von Cock. Julia stava studiando l’andamento di una particolare serie matematica ricorsiva per definirne i confini della rappresentazione grafica; il risultato a cui pervenne fu che tale frontiera era frastagliata all’infinito e che riproponeva sempre la stessa struttura a varie scale di grandezza. Si è riusciti a rappresentare gli insiemi di Julia solo con l’avvento del computer.

In un documento del 1904 il matematico svedese Helge von Koch descrisse una delle prime curve frattali. Si prenda un segmento, lo si divida in tre parti e si costruisca sul segmento centrale un altro triangolo equilatero; lo stesso procedimento lo si effettui su ogni segmento. Si ottiene così la curva di Koch .

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.

Da una formula semplice che si ripete si produce una profusione di forme tipicamente autosimili di straordinaria eleganza.

Il procedimento consiste nel ripetere molte volte una funzione matematica; di volta in volta il risultato di un’operazione diventa dato di ingresso per l’operazione successiva, iniziando un ciclo che si ripete.

Incredibilmente nessuno sa prevedere esattamente cosa succeda dopo una serie di iterazioni, neppure riguardo alle espressioni matematiche più semplici.

Basta solo inserire delle equazioni al computer sotto forma di algoritmi per ottenere forme che assomigliano molto a quelle che abbiamo tutti i giorni sotto i nostri occhi.

Uno dei più famosi frattali è quello di Benoit Mandelbrot che, utilizzando la matematica di Julia, è stato il primo a rappresentare graficamente sul computer i risultati di numeri complessi creando o scoprendo quella che oggi viene definita geometria frattale.

Nel 1979 realizzò il famoso“ insieme di Mandelbrot” che ha la caratteristica principale sia di derivare da una formula semplice sia di contenere gli insiemi di Julia.

L’insieme di Mandelbrot è l’oggetto matematico più complesso che sia mai stato realizzato.

Il grado di irregolarità che presenta rimane costante a scale diverse e la sua complessità può essere descritta con pochi bit di informazione.

Probabilmente anche le strutture complesse presenti nell’universo derivano da semplici leggi che conducono alla produzione di una infinita varietà e ricchezza di forme.

Conclusioni

Gli studiosi della dinamica caotica hanno scoperto che il comportamento disordinato dei sistemi agisce come un processo creativo, esso genera complessità, si auto-organizza ed è imprevedibile.

Pur possedendo il “libero arbitrio” il sistema però è soggetto a vincoli ed il caos, il disordine apparentemente casuale è incanalato in strutture frattali.

Il comportamento caotico quindi è detto deterministico poiché il suo insorgere segue leggi universali in tutti i sistemi non lineari rispettando i numeri scoperti da Feigenbaum.

L’essere umano è un sistema vivente, come tutti i viventi aperto, non lineare e lontano dall’equilibrio.

Il gusto estetico ed il senso artistico ad esempio sono ispirati dalla combinazione armonica di ordine e disordine quale si presenta in oggetti naturali come gli alberi, le nuvole, i cristalli di neve.

Le forme di questi oggetti sono processi dinamici consolidati in forme fisiche e particolari combinazioni di ordine e disordine sono tipiche di esse.

Osservando l’inquietante bellezza di spirali che turbinano, di vortici che generano cavallucci marini, di forme organiche che germogliano ed esplodono in piccoli frammenti come in un caleidoscopio, non si può fare a meno di notare la sorprendente somiglianza con l’arte psichedelica.

Quest’arte si ispira a “viaggi” resi possibili non dalla matematica o dal computer, ma da sostanze psicoattive.

Sembrerebbe dunque che gli schemi frattali siano processi mentali innati insiti nel cervello umano.

Inoltre l’insegnamento che traiamo da questa ricerca scientifica avanzata è il superamento della concezione meccanicistica e competitiva ( selezione della specie, sopravvivenza del più forte) in favore della rivalutazione di valori etici quali la cooperazione, la collaborazione, il rispetto.

La società ha bisogno di pensare in modo sistemico spostando l’attenzione dagli oggetti alle relazioni.

Ciò permetterà all’individuo di riconnettersi alla natura e ai suoi simili ponendo le basi per un’ecologia profonda e per un più significativo e proficuo approccio interpersonale.

Per concludere un brevissimo filmato che ci darà un’idea del fantasmagorico mondo della geometria frattale

http://www.youtube.com/watch?v=9G6uO7ZHtK8&feature=related

ed una frase di Sri Aurobindo:

Voi chiedete:qual è stato l’inizio di tutto?

Ed è questo…..

L’esistenza che si moltiplica da sola

per il puro gusto di essere.

E dirompendo in infiniti trilioni di forme

potrebbe trovare

se stessa

innumerevoli volte.

Per approfondimenti:

Caos, J. Gleick

Teoria generale dei sistemi, L. von Bertalanffy

La rete della vita, F. Capra

Determinismo e caos, A. Vulpiani

Nexus, M. Buchanan

Mente e natura, G. Bateson

Verso un'ecologia della mente, G. Bateson

La geometria della natura, B. Mandelbrot

Sincronia, S. Strogatz

Il cosmo intelligente, P. Davis