Fraktalak

XIX. mende bukaeran eta XX. mende hasieran Neurriaren Teoria erabiliz zenbait multzo “arraro” azaldu ziren: Cantoren multzoa, Hilberten kurba, Sierpinski-ren triangelua, Von Kochen elur-maluta, Mergeren belakia... Multzo guzti horiek, edozein eskalatan, bere buruarekiko antzekoak dira eta prozesu iteratibo baten bitartez sortuak dira.

Benoît Mandelbrotek (1924-2010), 60ko hamarkada bukaeran, multzo hauen propietateak aztertu zituen Erresuma Batuko kostaldearen luzera kalkulatzen ahalegindu zenean How long Is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension (Zein luzea da Erresuma Batuko kostaldea? Autoantzekotasun estatistikoa eta dimentsio-fraktala, 1967) artikulu idaztean. Neurketa egiterakoan, erabilitako tresnaren arabera, emaitza ezberdinak lortu zituen; baina, beti ere, konturatu zen kostaldearen forma edo itsura eskala ezberdinetan errepikatzen zela. Horrela azaldu zen Geometria Fraktala matematiketan.

Fraktalen Teoria lehenengoz The fractal geometry of nature (Mandelbrot, 1979) liburuan azaldu zen. Teoria berri hark zituen ideiak hain ziren berriak ezen Mandelbrotek terminu berri bat sortu zuen horretarako: fraktalak. Fraktal hitza, latineko fractus hitzetik dator eta hautsia edo pitzatua esan nahi du.

Mandelbroten arabera, objektu geometriko berri hauek zenbait propietate berezi dituzte:

• • 1. Irudiak, eskala ezberdinetan eta infinitu aldiz errepikatzen dira; hau da, autoantzekotasuna (zati bat osoaren antzekoa da) ematen da objektuetan. 

    2. Dimentsio ez osodun objektuak dira, hau da, dimentsio-fraktala duten.

    3. Objektuak, prozesu iteratibo eta infinitu baten bitartez sortzen dira.

Gaur egun ordenagailuen laguntzaz sortzen dira irudi geometriko fraktalak. Horretarako, aldagai konplexuko funtzio bat erabilita, planu-konplexuko puntu bakoitzaren iterazioa kalkulatzen da eta konberjentea den kasuan fraktaleko puntua dela esaten da. Adibidez: Mandelbroten multzoa, zn+1=zn2+c funtzioak sortzen du z0=c ∈ ℂ balioak iteratzean; eta, Juliaren multzoan, ordea, zn+1=zn2+c funtzioan c ∈ ℂ finkoa da.

Fraktalak, naturan zenbait lekutan aurki ditzazkegu: zuhaitzeko adarretan, odol-hodien adarkatzean, iratzean, romaneskuan, algen eta koralen hazkundean, ekaitzen tximistetan…