UD 8: Lógica proposicional

Si sustituimos los signos del lenguaje natural (las palabras) por símbolos lógicos, obtenemos un lenguaje formalizado o simbólico. La Lógica construye un lenguaje formal, en el que sólo importa la estructura sintáctica, y ese lenguaje permitirá "interpretaciones" semánticas, cuando los símbolos lógicos sean sustituidos por palabras significativas.

Un lenguaje formal o cálculo lógico no es un lenguaje, ya que no es un medio de comunicación, sin embargo, si interpretamos sus símbolos lo podemos transformar en un lenguaje.

La ventaja de un lenguaje formal es, que al desposeer a las proposiciones o enunciados de todo contenido significativo, éstas quedan transformadas en un conjunto de símbolos que podemos manipular como las "piezas del ajedrez".

3.-La Lógica de proposiciones. Construcción de un Cálculo Lógico:

La Lógica proposicional o de enunciados se ocupa de proposiciones del lenguaje natural, aunque sólo le interesan las de tipo enunciativo que satisfacen tres condiciones:

a) Ser una oración enunciativa con sentido o significado (la entendemos).

b) Adopta la forma de afirmación o negación (afirma o niega algo).

c) Se puede determinar si es verdadera o falsa (uso apofántico).

En la lógica proposicional, las proposiciones son analizadas para ver las relaciones que se dan entre los enunciados: siendo los enunciados la materia y los nexos que los relacionan su forma.

3.1 Tipos de proposiciones:

Las proposiciones pueden ser de dos tipos: proposiciones simples o atómicas, son aquellas que no pueden descomponerse en más partes (no tienen ningún enlace o conectiva), y las proposiciones complejas o moleculares que se pueden descomponer en proposiciones simples (son resultado de la unión de dos o más proposiciones simples).

3.2 Lenguaje formal o Cálculo Lógico (símbolos y reglas):

a) SÍMBOLOS: son de varios tipos:

-Variables proposicionales: simbolizan a las proposiciones simples y se comienzan a formalizar a partir de la letra p,q,r,s,.......

-Conectivas o constantes lógicas: simbolizan los nexos de enlace entre las diferentes proposiciones, y son las siguientes:

negador: ¬ (no, no es cierto, no es el caso que,....).

conjuntor: ˄ ( y,e, pero,...).

disyuntor: ˅ (o,u,o bien,...).

implicador: → (si...entonces, cuando...entonces. sólo si ).

coimplicador: ↔ (si y sólo si....entonces,...).

Adviértase que los cinco primeros conectivos son binarios, es decir, conectan dos enunciados, mientras que la negación sólo afecta a un enunciado.

-Signos de puntuación: sirven para señalar el alcance de las conectivas y para deshacer ambigüedades en las proposiciones moleculares. Son los corchetes, paréntesis, llaves...

b) REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS: sirven para construir proposiciones correctas, nos indican el lugar de las conectivas (siempre entre proposiciones), el uso de los paréntesis (que delimitan el alcance de las conectivas, estableciéndose una jerarquía entre las conectivas: la más principal es el ,le sigue el ,y luego y con el mismo rango, y por último va el negador que afecta a lo que va a continuación).

c) REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE FÓRMULAS: permiten pasar de unas expresiones a otras, conforme a determinados principios de la Lógica. Los símbolos carecen de significado y lo único que cuenta es que las operaciones realizadas con esos símbolos se acomoden a ciertas reglas establecidas.

Formalizar el siguiente razonamiento:

4.- TABLAS PARA DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN MOLECULAR

Para la Lógica proposicional, toda proposición es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. Si queremos saber el valor de verdad de una proposición simple nos basta con recurrir a la experiencia: por ejemplo, " Hoy hace sol " (miro por la ventana y sabré su valor). El problema surge al querer averiguar el valor de verdad de una proposición molecular. Para ello, está el método de las tablas de verdad que me permite determinar el valor de verdad de una proposición molecular, cualesquiera que sean los valores de verdad de sus componentes simples que la constituyan.

La tabla de verdad de una proposición va a tener tantos valores posibles como nos dé la fórmula 2ⁿ, donde " n " es el número de proposiciones simples que componen la proposición molecular de nuestro análisis.

4.1 Condiciones de verdad de las conectivas

a) NEGADOR: el negador transforma el valor de verdad de la proposición a la que afecta directamente. Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y viceversa.

b) CONJUNTOR: una proposición molecular unida por el conjuntor es verdadera cuando todos sus componentes simples que la constituyen son verdaderos; siendo falsa en todos los demás casos.

c) DISYUNCIÓN INCLUSIVA: una proposición molecular unida por el disyuntor es verdadera con tal que sea verdadero uno de sus miembros o todos. Sólo es falsa cuando todos sus miembros son falsos.

d) IMPLICACIÓN: una proposición molecular unida por el implicador es verdadera siempre que no se dé el caso que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Ya lo decían los clásicos: " lo verdadero está implicado por cualquier cosa y lo falso implica cualquier cosa " .

e) COIMPLICADOR: una proposición molecular unida por el coimplicador será verdadera cuando ambos componentes de la relación son verdaderos o falsos; será falsa si uno de sus miembros es verdadero y el otro falso.

4.2 Tabla de verdad de cualquier proposición molecular

Conocidas las tablas de verdad de las cinco conectivas, podemos aplicar este mecanismo a cualquier proposición que nos encontremos, por muy extensa que sea, para hallar sus valores globales de verdad. De acuerdo a los siguientes pasos:

1.- Se calcula los valores de la tabla conforme a la fórmula 2 . Donde "n" es el número total de letras enunciativas distintas (p, q, r,...).

2.- Se construye la tabla con los valores obtenidos, comenzando a dar valores de derecha a izquierda y empezando por la última letra de la proposición molecular. Alternando valores de verdad y falsedad individuales, para ir aumentando el doble en la siguiente letra enunciativa.

3.- Se halla primero la tabla de verdad de las proposiciones que tengan la conectiva de menor alcance y posteriormente las conectivas más importantes.

4.- En último lugar se calcula la tabla de la conectiva principal.

4.3 INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO FINAL DE UNA PROPOSICIÓN MOLECULAR

Al final del proceso del cálculo del valor de verdad nos resultarán tres posibilidades:

a) Tautologías: son proposiciones que siempre son verdaderas, con independencia de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen. De todas las tautologías posibles, a la Lógica le interesan aquellas que tienen la estructura de un razonamiento y que las denomina : leyes de la lógica.

b) Contradicciones: son proposiciones que siempre son falsas con independencia de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que la constituyen.

c) Indeterminadas o contingencias: es una proposición en cuya tabla de verdad aparecen conjuntamente valores de verdad y falsedad.

5.- RAZONAMIENTO CORRECTO.

Razonar es extraer ciertos enunciados (llamados conclusiones) a partir de otros enunciados (que llamamos premisas). Los hombres razonamos, pero no siempre razonamos correctamente, hay veces que nuestras conclusiones no se derivan de nuestras premisas.

El asunto de la Lógica consiste en discernir cuando un razonamiento es correcto y cuando no lo es. No confundir correcto con verdadero.

Un razonamiento es CORRECTO cuando la conclusión obtenida se deriva necesariamente de las premisas, y es INCORRECTO cuando de las premisas establecidas no se sigue la conclusión obtenida.

No confundir razonamiento correcto con razonamiento que lleva a una conclusión verdadera. La corrección de un razonamiento, estriba única y exclusivamente, en que la conclusión a que se llegue derive necesariamente de las premisas ( por supuesto, que si el razonamiento es válido y las premisas verdaderas, la conclusión también será verdadera ).

Pero: ¿Cómo podemos saber si un razonamiento es correcto o no ? Para descubrir la corrección o incorrección de un argumento existen varios métodos.

5.1 PRUEBAS PARA DEMOSTRAR LA CORRECCIÓN DE UN RAZONAMIENTO

a) PRUEBA DE VALIDEZ MEDIANTE TABLAS DE VERDAD: se calcula la tabla de verdad de las premisas y de la conclusión. Si se da un sólo caso donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, entonces el razonamiento es INCORRECTO. Este método plantea la dificultad de ser muy trabajoso cuando el número de letras enunciativas es mayor de cuatro.

b) PRUEBA FORMAL DE INVALIDEZ: si demostramos la suposición de que dando valor de verdad a las premisas y de falsedad a la conclusión, resultara que todas las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, entonces el razonamiento es INCORRECTO. Si no demostramos esa suposición, entonces el razonamiento es CORRECTO.

c) PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ MEDIANTE EL MÉTODO DE DEDUCCIÓN NATURAL: nos permite pasar de las premisas a la conclusión mediante las reglas de la lógica proposicional. Si un razonamiento es CORRECTO y se utilizan bien las reglas del cálculo lógico, podremos extraer la conclusión a partir de las premisas.

6.- REGLAS DEL CÁLCULO LÓGICO EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL:

Vamos a explicar las reglas que nos permiten operar deductivamente con los enunciados que forman las premisas y con las conectivas que los unen. Hay dos tipos de reglas:

a) Básicas: que son dos para cada conectiva, una la introduce y otra la elimina de una proposición molecular. Su actuación no afecta al valor de verdad de la proposición con la que operamos.

b) Derivadas: sirven para agilizar las operaciones, y son pasos validos y abreviados de las reglas básicas. Este año, al no tener tiempo, no las trabajaremos.

6.2 DEDUCCIÓN NATURAL:

Toda deducción natural puede ser directa o indirecta, en el segundo caso se llega de las premisas a la conclusión dando un rodeo ( ejemplos: Absurdo, Teoría Deducción y Prueba por Casos). En todo calculo deductivo se precisa de unas premisas, de una conclusión y de unas reglas. Así pues en una deducción natural podremos encontrar los siguientes elementos:

a) Premisas iniciales: de las que partimos y no han de estar justificadas. Se diferencian de los pasos deductivos por un guión (-) que llevan delante del número que las ordena. El número y guión van a la izquierda. Ejem.: -1 p.

b) Pasos deductivos: que proceden de las premisas iniciales por la aplicación de las reglas. Todo paso deductivo ha de llevar su justificación a su derecha y a la izquierda se indicará con un número el paso realizado, sin guión. Ejem.: 4 q MP 1,2.

c) Supuestos subsidiarios: que son provisionales y sirven de apoyo momentáneo; deben ser "cancelados" (cerrados) antes de llegar a la conclusión final. Llevan de señal o justificación una escuadra hacia abajo, que significa "supongo por el momento" y que luego se cierra explicando los motivos de su utilización a la derecha del paso deductivo en el que lo cancelemos.

d) Conclusión final: viene dada de antemano junto a las premisas.

7.- TIPOS DE FALACIAS.

Nos centramos en las denominadas falacias de pertinencia que tienen como característica común a todas ellas el que sus premisas no se corresponden con la conclusión que se quiere establecer. Sus premisas no son pertinentes, es decir, no son apropiadas para poder justificar la conclusión.

7.1 Argumentum ad populum.

Es un intento de ganar el asentimiento popular para una conclusión despertando pasiones y el entusiasmo del público, sin dar razones pertinentes y sin argumentar con pruebas. Es el recurso preferido del publicista y el demagogo. (También el preferido de algunos sofistas)

7.2 Argumentum ad baculum.

A veces si no se consigue adulando se busca el otro extremo: la amenaza. Significa "al bastón". Se comete esta falacia cuando se apela a la fuerza o a la amenaza para provocar la aceptación de una conclusión. No se debe confundir con una simple amenaza, ha de tener la forma de un razonamiento y estar constituido por proposiciones.

Sería una falacia de este tipo: "Es bueno que el alumno estudie, ya que así lo afirma el profesor, que es quien pone la nota".

Otra forma de plantearla es hacer derivar consecuencias catastróficas, desastrosas o negativas del hecho de no aceptar la conclusión que nosotros proponemos.

7.3 Argumentum ad hominem.

En otras ocasiones no se tienen argumentos y se intenta desautorizar a quien defiende una postura distinta a la nuestra en vez de dar razones que intenten demostrar nuestras ideas. Significa "argumento dirigido contra el hombre". En lugar de refutar la verdad de lo que se afirma se ataca a la persona que hace la afirmación. Por ejemplo: "Los ecologistas afirman que los vertidos tóxicos son peligrosos. Pero los ecologistas siempre han sido unos ingenuos. Por lo tanto, es falso que los vertidos sean peligrosos."

7.4 Argumentum ad verecundiam.

Muchas veces que nos encontramos sin razones para argumentar recurrimos a lo que ha dicho gente que es famosa o prestigiosa, a lo que hemos oído a alguien que para nosotros tiene autoridad. Cuando el niño pequeño dice "pues mi papá dice..." Significa "apelación a la autoridad" y se comete cuando se recurre al sentimiento de respeto (intelectual o de cualquier otro tipo) por alguna persona para ganar el asentimiento a una conclusión.

No todos los razonamientos de este tipo son falaces. A veces en una discusión recurrir a la opinión de un experto puede apoyar nuestras afirmaciones. Se incurre en una falacia cuando:

1. La apelación a la autoridad pretende establecer una validez absoluta del argumento. Es muy usado por todos los movimientos religiosos, dogmáticos y fanáticos. Un ejemplo es la infabilidad papal, hay quien afirma que sólo la posee en asuntos teológicos y hay quien la extiende a todo tipo de asuntos.

2. Cuando se apela a la opinión de un especialista que, por muy entendido que sea en otros asuntos, no lo es en el que se está tratando. Por ejemplo, todos los anuncios en los que un famoso recomienda algo: "Michael Jordan es el mejor jugador de baloncesto del mundo y dice que los calzoncillos X son muy cómodos. Por lo tanto, éstos son muy cómodos".

7. 5 Argumentum ad ignorantiam.

Cuando se pretende que porque algo no se sepa o no se haya probado que es verdadero, entonces es falso o viceversa: que es verdadero porque no se ha demostrado que es falso. Por ejemplo: “Nadie ha podido demostrar que Dios existe, por lo tanto, Dios no existe”.

7. 6 Argumentum "Tu quoque".

Significa "tú también", cuando no se presentan razones oportunas para replicar una acusación, sino que en su lugar se devuelve la ofensa al acusador. Por ejemplo: Ante la acusación: a un alumno de estar fumando en lugares no permitidos. Responder: que los profesores también lo hacen.

7.7 Falacia Ex populo.

Se defiende un determinado punto de vista alegando que todo el mundo o mucha gente está de acuerdo con esa opinión. Por ejemplo: "La mayoría de la gente tiene un teléfono móvil, por lo tanto el teléfono móvil es útil".

7.8 Falacia de las Preguntas Complejas.

Consiste en utilizar preguntas que comportan presuposiciones con la finalidad que el interlocutor admita una afirmación que puede ser utilizada contra él. Por ejemplo: "¿Has dejado de hablar?" (Sea cuál sea la respuesta se estará admitiendo que estaba hablando) "¿No te arrepientes de haber cometido un crimen tan horrendo?" (Responda lo que responda da por sentado que el crimen es efectivamente horrendo).

7.9 Falacia de la Falsa Causa.

Por una simple coincidencia entre dos fenómenos se establece sin que haya una base suficiente una conexión causal entre ellos. Por ejemplo: "El hecho que haya tocado dos veces seguidas la lotería en Sort es una prueba de que los números de lotería comprados a Sort tienen más probabilidades de ser premiados"

7.10 Falacia del Argumento Circular.

Se denomina también Petición de principio (Petitio principii) Es cuando las premisas presuponen la conclusión que se pretende demostrar. Por ejemplo, la justificación del principio de inducción a partir del mismo principio de inducción: "El principio de inducción funciona porque ha funcionado bien en la mayoría de los casos". Otros: "La porcelana se rompe porque es frágil" o "La gasolina arde porque es inflamable”.