Fourier transformer approximation Maclaurin expansion

- - - - - - - -式２

ここで、サンプリング数 N=4の回転因子

を式２のxにそれぞれ、代入したとき下記のようになる。

- - - - - - - -式３

ただし、上式の各値は式１にN=4の回転因子をそれぞれ代入することで、下記のとおり求められる。

- - - - - - - -式４

ここで、DFT(離散フーリエ変換)の一般式（N=4）を下記に記す。

- - - - - - - -式５

式５を変形させ、式６を得る。

- - - - - - - -式６

ここで、

- - - - - - - -式７

としたとき、

- - - - - - - -式８

となる。

IDFT（逆離散フーリエ変換）の一般式（N=4）を下記に示す。

- - - - - - - -式９

すると、

式９に、式７、８を代入すると、下式を得る。

- - - - - - - -式１０

結果、それぞれの値は下記のように求められる。

よって、指数関数のべき級数展開式は、

と展開される。

近似性能の検討

また解析的に、べき級数展開は下記に示すようなマクローリン展開と等価な表現となる。

ここで、x=0を代入したk階微分係数は下記を得る。

上式をマクローリン展開式に代入すると、

を得る。

そこでIDFTより算出した近似した式と比較すると、サンプル数N=4にあるにも関わらず、

それなりの精度で近似出来ていることが分かる。

ただし、この少数サンプルでの近似性は、どんな関数においても成り立つものではない。

実際、30/(5-3x)といった関数を当初、フーリエ変換を用いてべき級数展開することを考えていたが、

N=4では十分な近似性を発揮することはできなかった。