Amb la pandèmia del COVID-19 s'ha sentit a parlar molt del "creixement exponencial".

Amb molta probabilitat ja l'heu estudiat a classe. Us proposem veure un parell de vídeos i resoldre algunes qüestions que hi tenen a veure.

Què necessitareu?

• Un tauler d'escacs. Si no el teniu el podeu dibuixar o imaginar.

• Un full de paper.

• El full de càlcul de l'ordinador.

• Un quadern on prendre nota.

La llegenda dels escacs

Explica la llegenda que un governador d'un país remot, a l'Orient, estava deprimit. O si més no, avorrit. Un pastor va anar a explicar-li un joc que havia inventat: el joc dels escacs. El governador, en agraïment, li va dir al pastor que li donaria allò que li demanés.

El pastor li va fer una petició que semblava senzilla:

- Poseu un gra d'arròs a la primera casella. A la segona casella el doble: dos grans d'arròs. A la tercera casella, el doble de l'anterior. I així... fins a omplir el tauler.

Us podríem seguir explicant la història, però també la podeu veure al vídeo que TV3 va fer dins el programa "Una mà de contes", dins d'una petita sèrie de contes relacionats amb les matemàtiques.

Fem servir el full de càlcul. (Amb explicacions detallades per a aquells que no el feu servir normalment)

Obriu el full de càlcul. El que tingueu al vostre ordinador.

A la primera casella hi posarem el primer gra d'arrós. Un 1.

A la de sota, el doble de l'anterior. Ja sabeu que l'operació que heu d'escriure a la casella del vostre full de càlcul és "=A1*2" Us ha sortit un 2? Anem bé.

Ja sabeu també que A1 és el nom de la casella a on hem posat el primer nombre. Pot ser aquesta o qualsevol altra que hagueu triat.

Si volem seguir la sèrie, a la casella de sota escriurem "=A2*2" I que podem repetir aquesta seqüència per calcular els grans d'arròs de cada casella fins a la que fa 64. En feu prou de seleccionar el quadradet petit que hi ha a baix a la dreta de la casella que voleu arrossegar, en aquest cas la segona, i arrossegar-la fins a la que fa 64. I ja ho tenim. Al ser nombres molt grans a partir d'un cert nombre es fa servir la notació científica.

Si selecciones les dades i li demanes que et dibuixi un gràfic apareixerà la funció exponencial de la que tant sents a parlar.

I ara només ens falta sumar els grans d'arròs que hi ha a cada casella, per saber el total de grans que demanava el pastor.

Per sumar podeu fer servir la funció suma (SUM o SUMA segons el full de càlcul que feu servir) i seleccionar totes les caselles que vulgueu sumar.

=SUMA(A1:A64)

Si poseu els dos punts, us sumarà totes les caselles entre l'interval que hi ha entre A1 i A64, en canvi, si hi poseu punt i com, només us sumarà les dues caselles A1 i A64.

Al següent vídeo podeu veure tota la confecció del full de càlcul.

I ara... investiguem!

Observem què passa a la taula:

A:1 -> 1

A:2 -> 2 A:1+A:2= 3

A:3 -> 4 A:1 + A:2 + A:3 = 7

A:4 -> 8 A:1 + A:2 +A:3 + A:4 = 15

Hi veus algun patró que relacioni el valor de la suma dels grans a cada moment amb el nombre de la casella següent? Descobrir regularitats és una de les habilitats més importants dels científics!

Per tant, podries comprovar si realment la suma de les caselles de tot el tauler d'escacs segueix aquest patró calculant el valor dels grans d'arròs d'una hipotètica casella 65?

• Anota els resultats obtinguts al teu quadern per compartir-los amb la classe.

• Anota també els resultats obtinguts fent servir potències.

• Quina és la funció exponencial que hem fet servir?

Quant arròs li van haver de pagar?

La producció mundial anual d'arròs supera els 500 milions de tones (Font: Wikipèdia)

Investiga:

• Quina part de la producció anual actual demanava el pastor? O no en faríem prou? En aquest cas, quants anys necessitaríem per pagar-li?

Primer hauràs de saber quants grans d'arrós hi ha en una tona. O en un quilogram, si ja saps quants quilograms fan una tona). La manera d'esbrinar-ho depèn de tu. Pots buscar alguna manera original de comptar-ho, o pots preguntar-ho a algú que ho sàpiga. En qualsevol cas, reflexa el mètode que has fet servir al teu informe.

L'activitat només us proposa un context que ens permet veure el ràpid creixement de la funció exponencial.

Una altra idea és la que podeu recuperar al vídeo "Una de mates, crecimiento exponencial" que el programa Órbita Laika va emetre el 2015.

Tothom en algun moment ha agafat un full de paper, l'ha plegat tres vegades i se l'ha posat a la butxaca. La pregunta que ens fem és la següent: Si fos possible plegar un full de paper 20 vegades, quin gruix tindria?