Investigacions potents
La potència és una operació "potent". Per què? Perquè els resultats de les potències de seguida es fan molt grans. Coneixes la llegenda de la invenció dels escacs? És un bon exemple de com creixen els nombres a mesura que l'exponent es va fent més gran. Per això es parla de "creixement exponencial". Aquests dies de pandèmia hauràs sentit molt aquesta expressió. Al següent gràfic la línia vermella representa un creixement lineal (per exemple el d'un producte que costa 50€/u), la blava el de nombres elevats al cub i la vermella el creixement exponencial del cas dels escacs.
Però ara no parlarem d'aquests creixements sinó que et plantejarem altres reptes. I aquests reptes estan lligats a que els resultats de les potències aviat no caben a la calculadora. La majoria de calculadores quan el resultat no els hi cap passen a escriure'l en forma de notació científica. És una forma de dir-nos el seu valor amb una certa quantitat de xifres exactes i altres, les més petites, que no sabem. Entre tenir un milió d'objectes i tenir-ne un milió sis no hi ha gaire diferència.
Aquesta calculadora ens dona 32 xifres significatives de les 42 que té el resultat d'elevar 7 a la 49
Però encara que no ho sabem tot d'aquests nombres tan grans podem esbrinar algunes coses. Per a contestar cada pegunta et recomanem començar per casos més petits per a cada cas.
Quina és la xifra de les unitats de 5457 (5 és la base i 457 l'exponent)?
I la de 26457?
I la de 4457?
I la de 79457?
I la de 7457?
I la de 43457
Ara et proposem un repte una mica diferent.
Quin és el residu de dividir 22020 entre 7?
Ara venen altres peguntes "de propina" per si també les voleu investigar. Atenció! La resposta no és sempre del mateix estil!
Sabries escriure quin és el nombre més gran que es pot obtenir amb tres uns i els signes d'operació que vulguis?
I amb tres tresos?
I amb tres nous?
Informació per a professorat i famílies. Per què és interessant aquesta activitat?
Hi ha una introducció que pot obrir camp a altres temes d'ampliació com els diferents tipus de creixement o la notació científica. Si voleu ampliar aquest tema podeu anar a una senzilla aplicació amb GeoGebra o a uns vídeos força més llargs i detallats de la Khan Academy.
Les dues investigacions proposades, la de la xifra de les unitats i la del residu al dividir per 7 estan basades en la mateixa idea. En tots dos casos hi ha cicles i cal fer dues coses respecte a ells: determinar la llargada de cicle i els nombres que el formen i determinar quin cas concret dels del cicle correspon a la demanda feta. És interessant veure els mètodes que apliquen per resoldre aquesta segona part i compartir-les, per exemple en un fòrum de moodle. És important fer argumentar cada forma de trobar-lo. Després es pot decidir la que sigui més general i pràctica.
La darrera qüestió es relaciona amb la construcció d'expressions jugant amb la potència de potències. Amb tres uns la solució més gran és 11¹. Però amb tres tresos és 333. Amb tres nous en canvi és 9(9^9)=9387420489. Aquest càlcul sona un nombre que té més de 369 milions de xifres. Si escrivim tres xifres cada centímetre... quina longitud tindria?