14.03.2024

Урок №51  

Поняття про теорію ймовірності


«Від шахової гри - аристократки марної – теорії достойної не народилось жодної, а гра у кості, хоч і примітивна, науку про ймовірність народила дивну. Воістину в науці, як в житті: найглибша мудрість в простоті»

Г.П.Бевз 


Мета уроку:

Завдання: 

Опрацювати відео-матеріали, презентації в щоденнику. 

Вивчити §22, 23, виконати завдання на порталі Мійклас. 

Зародження теорій ймовірностей відбулося у пошуках відповіді на питання: як часто відбувається та чи інша подія в серії випробувань?

Як зародилася наука теорія ймовірностей? Хто з видатних вчених присвятив свої праці саме ймовірності?

Що називають випробуванням? Експериментом? Подією?

Під експериментом (випробуванням) розуміють деяку сукупність умов, в яких спостерігається те або інше явище, фіксується той або інший результат.

Слово “подія” в побуті застосовують до значних явищ (день народження, іспит, весілля), а в математиці – до всіх можливих наслідків ситуації, що розглядається, наприклад при киданні гральної кістки - подія - це випадання тієї або іншої грані.

 Подією називається усякий факт, який в результаті експерименту може відбутися або не відбутися.

Наведіть приклади подій.


Події будемо позначати великими літерами латинським А, В, С.

Приклади подій:

• черепаха навчилася говорити;
• вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті закипить;
• ви виграєте, беручи участь у лотереї;
• ви програєте партію в шахи;
• на наступному тижні може зіпсуватися погода;
• ви натиснули на дзвінок, а він не задзвонив;
• після четверга буде п’ятниця;

• влітку у школярів будуть канікули;
• взимку випадає сніг;
• при включенні світла, лампочка перегорить;

Об’єднайте події у групи. За якими ознаками ви це зробили? Узагальніть визначення.

Події, які за даних умов обов’язково відбуваються, називають достовірними (зміна дня і ночі).

Події, які за даних умов не можуть відбутися, називають неможливими. 

Події, які за даних умов іноді відбуваються, а іноді не відбуваються, називаються можливими або випадковими. 

Події, можливості настання яких однакові називаються рівноможливими або рівноймовірними (підкидання монети).


Ймовірністю події називається чисельна міра ступеня об'єктивної можливості появи події в результаті експерименту.


Чому буде дорівнювати імовірність події:

• черепаха навчилася говорити;
• вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті закипить;
• ви виграєте беручи участь у лотереї;
Властивості ймовірності будь-якої події:

0 ≤ P(A) ≤ 1

 Якщо A – вірогідна подія, то P(A)=1
Якщо A – неможлива подія, то P(A)=0
Якщо A – випадкова подія, то 0≤ P(A) ≤ 1


Ймовірність події А як можливого виходу деякого експерименту визначається відношенням кількості випадків, що сприятливі для події А, до загальної кількості випадків у даному експерименті. 

Таким чином, якщо m – кількість випадків, що сприятливі для події А, а n – загальна кількість випадків у даному експерименті, то ймовірність події випадкові події А:

 


Якщо за незмінних умов проведено  n випадкових дослідів і в  n(А) випадків подія А відбулася, то число n(А) називають частотою події А, а відношення  n(А)/n - відносною частотою події А.

Приклад: 

Дослід полягає в підкиданні кубика 150 разів поспіль. Нехай випадкова подія А - випадання  шістки. Під час досліду ця подія відбулася 24 рази. 

Число 24 є частотою події А, а відношення  24/150=4/25==0,16 є відносною частотою події А.

Приклад 1. 

Знайдiть iмовiрнiсть того, що в результатi пiдкидання грального кубика випаде парне число очок.

Розв’язання:

Ймовірність  події А обчислюється за формулою: Р(А)=m/n. 

Дана подія може відбутися трьома способами: випало 6 очок, випало 4 очка, випало 2 очка. 

Отже m=3. 

Всього можливо шість подій під час даного експерименту, тому  n=6. 

Тоді Р(А)=3/6=1/2=0,5=50%.

Відповідь : ½ або 50%


Алгоритм для розв’язання задач за допомогою класичного визначення:

1. позначити подію;

2. підрахувати кількість загальних випадків у даному експерименті;

3. підрахувати кількість випадків, сприятливих для даної події;

4. знайти відношення сприятливих наслідків до числа усіх наслідків.

Приклад 2.

В урнi мiститься 10 однакових за розмiром кульок: 6 жовтих i 4 си­нiх. Кульки перемiшали.

Знайдiть iмовiрнiсть того, що навмання вибрана кулька буде:


Розв’язання:

Подія А може відбутися чотирма способами, подія В-шістьма, подія С-неможлива подія, подія D така, що завжди відбудеться. Одну кульку можна витягнути десятьма способами.

Тому:

Р(А)=4/10=2/5=0,4=40%,

Р(В)=6/10=3/5=0,6=60%,

Р(С)=0, 

Р(D)=1=100%.


Приклад 3: 

У лотереї 100 квитків, з них 5 виграшних. Яка ймовірність програшу?

 

Чим дана умова відрізняється від попередніх? 


Чи можемо ми одразу обчислити імовірність? Чому?

(А) – програти: Результатів – 100; Шанс (А) = 100-5 = 95, тоді Р (А) =95/100=19/20