14.09.2023

Означення. Число а більше від числа b, якщо а – b > 0; чис­ло а менше від числа b, якщо а – b < 0.

3 цього означення випливає умова рівності двох чисел: число а дорівнює числу b, якщо а - b = 0.

Види числових нерівностей

Числові нерівності поділяють на такі види:

1) за знаком — строгі (а > b, а < b) і нестрогі (а ≥ b, a ≤ b);

2) за змістом — правильні (3 > 2) і неправильні (3 > 4).

Алгоритм доведення числових нерівностей

Щоб довести, що нерівність f(x) < g(x) (f(x) > g(x)) правиль­на при будь-яких значеннях змінних, треба:

1) знайти різницю лівої та правої частин нерівності: f(x) – g(x);

2) перетворити (спростити, виділити повний квадрат тощо) різ­ницю так, щоб можна було визначити її знак (< 0, > 0; = 0 );

3)  скориставшись означенням, зробити висновок.

Приклад. Доведемо нерівність а(а – 4) < (а – 2)2.

Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності та перетворимо її:

а(а – 4) – (а – 2)2 = а2 – 4а – (а2 – 4а + 4) = а2 – 4а – а2 + 4а - 4 = -4.

Оскільки різниця лівої та правої частин нерівності дорівнює -4 < 0, то за означенням ліва частина менша від 

                                                  2

правої, тобто а(а – 4) < (а – 2)    при будь-яких а.

 Усні вправи

  1.Порівняйте з нулем різницю правої та лівої частин нерівності:

1) х < у;      2) а ≥ b;      3) 3 > х;     4) т ≤ 2.

 2.Відомо, що т > п. Чи може т – п дорівнювати:

1) -3;          2) 0;           3) 0,3;     4) а2?

 Контрольні запитання

 1.Заповніть пропуски:

1) т > п, якщо т ... п ... 0;

2) х < у, якщо х ... у ... 0;

3) х ... у, якщо х – у = 0.

 2.Що означає запис:

1) a > b; 2) c < d?

 Домашнє завдання

       1. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.

2. Розв'язати вправи: на порівняння чисел за даним значенням їхньої різниці; порівняння дійсних чисел за означенням; до­ведення нерівностей (найпростіші випадки).

3. Повторити: формули скороченого множення (зокрема квадрат двочлена), властивості степеня з парним і непарним натураль­ним показником.

Основні властивості числових нерівностей:

 1. Якщо a ˃ b, то а – b ˃ 0, якщо a ˂ b, то а – b ˂ 0. 

2. Якщо a ˂ b, b ˂ c, то а ˂ с. 

3. Якщо a ˂ b, а с – будь-яке число, то а + с ˂ b + с ( якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність). 

4. Якщо a ˂ b, с ˃ 0, то aс ˂ bс ( якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число ,то отримаємо правильну нерівність). 

Якщо a ˂ b, с ˂ 0, то aс ˃ bс (нерівність змінює знак на протилежний). 

5. Якщо b ˃ а ˃ 0, то 1/a ˃ 1/b.

6. Якщо a ˂ b і с ˂ d, то а + с ˂ b + d (нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати) 

7. Якщо a ˂ b і с ˂ d і а ˃ 0, b ˃ 0, с ˃ 0, d ˃ 0, то ас ˂ bd. 

8. Якщо a ˂ b + с, то а – с ˂ b ( доданок можна переносити з однієї частини нерівності в іншу, змінюючи знак доданка на протилежний)