Мета: 

Вивести формулу  Sn для арифметичної прогресії; навчитися обчислювати суму перших n членів арифметичної прогресії;

Сформувати вміння записувати вивчені формули відповідно до умови задач, а також використовувати їх для розв’язання задач, що передбачають обчислення суми перших  n членів арифметичної прогресії;

Формувати самостійність, розвивати системність і послідовність мислення;

Виховувати розуміння ролі математики у житті та важливість математичних знань.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь навичок.

Обладнання: комп’ютер, мультимедійна презентація.

Хід уроку

І.  Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Виконати тест за посиланням:  https://vseosvita.ua/test/start/hin640 

Дата початку:  08.02.2024 

Дата завершення:  не задано

Часу для проходження:   15 хв.

Усні вправи

1.   Назвіть перший член і різницю арифметичної прогресії, що задана формулою an = 115n – 4. Запишіть формулу n-го члена цієї арифметичної прогресії.

2.   Відомо, що в скінченній арифметичній прогресії сума першого й останнього членів дорівнює 10. Чому дорівнює сума другого і передостаннього членів?

3.   Знайдіть:

1)  значення функції, що задана формулою у = 4х–3, для всіх цілих значень змінної х з проміжку (2; 5];

2)  значення аргументу, при яких значення функції  у = x2  – 5  дорівнює 0; 4; -5.

ІІ. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.  Формула суми перших n членів арифметичної прогресії через перший і n-й члени.

2. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії через перший член і різницю арифметичної прогресії.

3.   Приклади розв'язування задач.

Вивчення нового матеріалу:

Запишемо суму, яку успішно обчислив Гаус:

S= 1+2+3+…+99+100

Підпишемо під нею цю саму послідовність у порядку спадання і додамо рівність почленно.

S= 1  +  2  + 3 +… 98 + 99 + 100

S= 100+99+98+…+3 + 2 + 1

___________________________

2S= 101+101+101+…+101+101+101

2S= 101∙ 100

S= = 5050

За допомогою аналогічних міркувань можна знайти суму перших n членів будь якої арифметичної прогресії.

Sn = a1 +a2 + … +a n-1 +a n

Sn = an+a n-1 +… + a2 +a 1

2S = (a1 +an) + (a2 + a n-1) + ( a3+a n-2) + …(a n-1 +a 2) + (a1 + an)

d = an - a n-1

a n-1 = an - d

де   а 2 + a n-1 = a1 +d + a n -d = a1 +an

2Sn = (a1 + a n) ∙ n

Sn =  (a1 + an)∙ n/2

(а1,  аn і n – кількість членів )

Що потрібно знати, щоб скористатися цією формулою?

Ця формула може виявитися не зовсім зручною, якщо невідомий член аn , а тому доведеться спочатку обчислювати його. Спробуємо перетворити цю формулу так, щоб її можна використати, знаючи а1 і d.

an = a1  + (n-1)d

Sn  = (a1 + an)∙ n/2 = (a1 + a1  + (n-1)d)∙ n/2 = (2a1  + (n-1)d)∙ n/2

Sn  = (2a1  + (n-1)d)∙ n/2

Яку властивість скінченної арифметичної прогресії використовують для встановлення формули суми n перших її членів?

(Сума будь-яких двох її членів, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів).

Приклади:

1.Дано: (an ) : -17; -12; -7; …

Знайти S10 .

Розв’язання:

a1 = -17     a2 = -12

d = a2 – a1 = -12 – (-17) = 5

S10 = (2a1  + (n-1)d)∙ n/2 = ( 2 ∙(-17) + 9 ∙ 5)10/2 =(-34 + 45)∙5 = 55

Відповідь: S10 = 55

2.Знайти суму непарних натуральних чисел, що не перевищують 71.

Розв’язання:

Непарні натуральні числа утворюють арифметичну прогресію:

 (an ): 1; 3; 5; 7; …   

а1 =1, d =2,      an = 1 + (n-1) ∙ 2 = 1 + 2n - 2 = 2n -1

Знайдемо, який порядковий номер має член an = 71 цієї прогресії: 

71 = 2n -1     

2n = 72 

n =36

Отже, потрібно знайти S36

 S36 = (1+71)36/2= 1296

Відповідь: S36 = 1296