PERPENDICULARIDADES

***** PÁGINA EM OBRAS *****

Retas Horizontais ou Frontais, Perpendiculares ou Ortogonais entre si

1 - Represente, pelas suas projeções, as retas horizontais, h e h', perpendiculares entre si, sabendo que:

• a reta h contém o ponto R(3;3;4) e faz com o PFP um ângulo de 35° (a.d.);

• a reta h' contém o ponto S(-1;2;4).

Determine os traços do plano ν que contém as retas  h e h'.

2 - Represente, pelas suas projeções, as retas frontais, g e f, ortogonais entre si, sabendo que:

• a reta g contém o ponto R(4;2;3) e faz com o PHP um ângulo de 55° (a.d.);

• a reta f contém o ponto S(-1;4;4).

Determine os traços do plano φ que contém as retas g e f.

Retas Verticais, de Topo e Fronto-Horizontais, Perpendiculares entre si

3 - Determine as projeções das retas v, t e m perpendiculares entre si, sabendo que:

• as três retas são concorrentes no ponto P(0;3;3);

• a reta v é vertical, a reta t é de topo e a reta m é fronto-horizontal;

determine os traços dos planos, π, φ e ν, que são possíveis de determinar com estas três retas.

4 - Determine as projecções da reta v perpendicular à reta h dados:

• a reta h contém o ponto P(3;4;3) e faz com o PFP um ângulo de 45° (a.d.);

• a reta v tem 2 cm de afastamento.

5 - Determine as projecções da reta t perpendicular à reta f dados:

• a reta f contém os pontos A(3;4;3) e B(-1;4;-1);

• a reta t tem 1 cm de cota.

6 - Determine as projecções dos traços do plano π, de perfil, que vai definido pelas retas t e v, dados:

• a reta t é de topo, a reta v é vertical e intersectam-se no ponto P(1;5;3);

As retas t e v são _______________ entre si.

7 - Determine as projecções dos traços do plano φ, frontal m e v, dados:

• a reta m é fronto-horizontal, a reta v é vertical e intersectam-se no ponto R(2;3;6);

As retas m e v são _______________ entre si.

Reta Horizontal ou Frontal Perpendicular ou Ortogonal a uma Reta Oblíqua

8 - Determine as projecções de uma reta horizontal, h, perpendicular à reta r, dados:

• a reta r contém os pontos A(4;6;2) e B(-4;-2;7);

• a reta h, horizontal, tem 4 cm de cota.

9 - Determine as projeções de uma reta horizontal, n, ortogonal à reta oblíqua r, dados:

• a reta r é paralela ao β1/3 e contém o ponto R(2;3;2);

• a reta r em projeção horizontal, r1, faz um ângulo de 40° de abertura para a direita com o eixo x;

• o ponto F(-4;0;5) é o traço frontal  da reta n. 

10 -  Determine as projeções dos traços do plano ε, definido pelas retas r e f, concorrentes, sabendo que:

• a reta r é oblíqua, contém o ponto R(3;3;2), e as suas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 55° de abertura para a esquerda e de 30° de abertura para a direita, respetivamente.

• a reta f é frontal, e é perpendicular à reta r num ponto do β2/4.

11 -  Determine as projeções dos traços do plano ε, definido pelas retas r e n, perpendiculares, dados:

• a reta r é oblíqua, contém o ponto M do eixo x com -3 cm de abcissa e o ponto Q do β1/3, com - 6 cm de abcissa e -2 cm de afastamento;

• a reta n é horizontal, tem 4 cm de cota e é perpendicular à reta r.

Reta Perpendicular a um Plano vertical, de Topo ou de Perfil

12 - Determine as projeções da reta s perpendicular ao plano vertical δ, sabendo que:

• o plano δ contém a reta r definida pelos pontos S(3;4;3) e R(-2;-5;5);

• a reta s contém o ponto S.

Reta Perpendicular a um Plano Oblíquo

13 - Determine as projeções da reta p, perpendicular ao plano oblíquo ω, sabendo que:

do plano ω são conhecidas as suas h e f, concorrentes no ponto P(3;3;4);

a reta h é horizontal e faz um ângulo de 35° de abertura para a esquerda com o Plano Frontal de Projeção;

a reta f é frontal e faz um ângulo de 60° de abertura para a esquerda com o Plano Horizontal de Projeção;

a reta p contém o ponto P do  β1/3, com - 3 cm de abcissa e 6 cm de afastamento.

14 - Determine as projeções da reta r perpendicular ao plano oblíquo β, sabendo que:

• o plano β contém o ponto M, do eixo x com 2 cm de abcissa, e o ponto H(-1;2;0);

• as retas frontais do plano β fazem ângulos de 60° (a.e.) com o eixo x;

• a reta r contém o ponto R(0;6;4).

15 - Determine as projeções da reta s perpendicular ao plano σ, sabendo que:

• o plano σ é definido pelas retas, p e r, paralelas entre si;

• a reta p contém o ponto P(1;1;5) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 35° (a.e.) e 45° (a.d.), respetivamente;

• a reta r contém o ponto R(1;4;3);

• a reta s contém o ponto S(-3;3;4).

16 - Determine as projeções da reta a perpendicular ao plano α, sabendo que:

• o plano α é definido pelas retas, s e t, concorrentes num M do eixo x com 5 cm de abcissa;

• a reta s contém o ponto S(0;2;4);

• as projeções horizontal e frontal da reta t fazem, com o eixo x, ângulos de 35° (a.d.) e de 25° (a.d.), respetivamente;

• a reta a contém o ponto S.

17 - Determine as projeções da reta t perpendicular ao plano α, sabendo que:

• o plano α é definido por uma reta de maior declive d;

• a reta d contém o ponto A(0;4;2) e o seu traço horizontal tem -2,5 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;

• a reta t contém o ponto T do β1/3, com abcissa nula e 6 cm de afastamento.

18 - Determine as projeções da reta p perpendicular ao plano ω, sabendo que:

• o plano ω é definido pelos pontos A(4;6;2), B e C;

• o ponto B pertence ao plano frontal de projeção e tem 1 cm de abcissa e 5 cm de cota;

• o ponto C pertence ao β1/3 e tem -1 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;

• a reta p contém o ponto P(-5;5;7).

19 - Determine as projeções da reta r perpendicular ao plano δ, considerando:

• o plano δ é definido por uma reta de maior inclinação i;

• a reta i é paralela ao β2/4 e contém o ponto A(0;2;3);

• a projeção horizontal da reta i faz um ângulo de 40° (a.d.) com o eixo x;

• a reta r contém o ponto P(-5;-6;3).

Reta Perpendicular a um Plano de Rampa

20 - Determine os traços horizontal e frontal da reta p perpendicular ao plano de rampa ρ, dados:

• o plano ρ contém um ponto H com 6 cm de afastamento e um ponto F com 3 cm de cota;

• a reta p contém o ponto P(3;4;5).

21 - Determine as projeções dos traços, H e F, da reta a perpendicular ao plano passante ρ que contém o A(2;3;4).

• a reta a contém o ponto A(0;5;1,5).

22 - Determine as projeções dos traços, H e F, da reta b perpendicular ao plano β1/3, sabendo que:

• a reta b contém o ponto B(0;2;5).

23 - Determine as projeções dos traços, H e F, da reta r perpendicular ao plano β2/4, sabendo que:

• a reta r contém o ponto R(2;1,5;7).

Plano Perpendicular a uma Reta

24 - Determine os traços do plano ω perpendicular à reta r, sabendo que:

• a reta r é definida pelos pontos A(6;0;0) e B(2;3;2);

• o plano ω contém o ponto P(-1;2;6).

25 - Determine os traços do plano ω perpendicular à reta frontal f, sabendo que:

• a reta f faz um ângulo de 45° de abertura para a esquerda com o plano horizontal de projeção;

• o traço horizontal da reta f tem -3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento;

• o plano ω contém o ponto P(-3;-2;7).

26 - Determine os traços do plano π perpendicular à reta p, dados:

• a reta p contém o ponto P(-4;1;6);

• as projeções horizontal e frontal da reta p fazem, com o eixo x, ângulos de 30° (a.e.) e 45° (a.d.), respetivamente;

• o plano π contém o ponto S(2;3;5).

27 - Determine os traços nos planos de projeção do plano π perpendicular à reta r, sabendo que:

• a reta r é paralela ao β1/3, e o seu traço frontal tem abcissa nula e -3 cm de cota;

• a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 35° (a.d.) com o eixo x;

• o plano π contém o ponto A(0;-4;6).

28 - Determine os traços nos planos de projeção do plano π perpendicular à reta r, sabendo que:

• a reta r é paralela ao β2/4, e o seu traço frontal tem abcissa nula e 5 cm de cota;

• a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 40° (a.e.) com o eixo x;

• o plano π contém o ponto A(0;-3;3).

29 - Determine os traços do plano θ perpendicular à reta de perfil p, dados:

- a reta p é definida pelo ponto A(1;3;2) e pelo ponto B do β1/3, com 5 cm de afastamento;

- o plano θ contém o ponto P(4;2;3).

30 - Determine os traços nos planos de projeção do plano β perpendicular à reta de perfil p, dados:

• a reta p é definida pelo ponto A(0;2;3) e pelo seu traço horizontal que tem 7 cm de afastamento;

• o plano β contém o ponto B(0;-3;3).

31 - Determine os traços nos planos de projeção do plano ρ perpendicular à reta a, dados:

• a reta a é de perfil e o seu traço frontal é o ponto F(2;0;4);

• a reta a intersecta o plano ρ no ponto I, que tem 4 cm de afastamento e 2 cm de cota.

32 - Determine as projecções do ponto I, resultante da interseção da reta de perfil p com o plano passante θ, sabendo que:

• a reta p contém o ponto P(0;5;2) e o ponto R, com -2 cm de afastamento e 7 cm de cota;

• o plano θ é passante e é perpendicular à reta p.

Retas Oblíquas Perpendiculares ou Ortogonais entre si

33 - Determine as projecções das retas a e b perpendiculares entre si:

• a reta a é paralela ao  β1/3, e contém o ponto A(-2;3,5;2);

• a projeção horizontal da reta a, a1, faz um ângulo de 55° de abertura para a esquerda com o eixo x;

• a reta b contém o ponto A e o seu traço horizontal, H, tem 8 cm de afastamento.

34 - Represente, pelas suas projeções, as retas p e r, ortogonais entre si, dados:

• a reta r contém os pontos R(-4;1;2) e S(-2;4;4);

• a reta p contém o ponto P(0;2;3) e a sua projeção horizontal, p1, faz um ângulo de 35° de abertura para a esquerda com o eixo x;

35 - Represente, pelas suas projeções, a reta r ortogonal à reta s, sabendo que:

• a reta s contém o ponto S(0;5;2) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 60° (a.e.) e 45° (a.e.), respetivamente;

• a reta r contém o ponto P(-4;4;3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 55° (a.e.) com o eixo x.

36 - Determine as projeções da reta a perpendicular à reta r, sabendo que:

• a reta r contém os pontos R(-3;1,5;4) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 30° (a.e.) e 45° (a.e.), respetivamente;

• a reta a contém o ponto A(0;5;2).

37 - Determine as projeções da reta r ortogonal à reta a, sabendo que:

• a reta a é oblíqua passante e contém o ponto A(0;5;4) e o ponto B, com 3 cm de abcissa e 2 cm de cota;

• a reta r contém o ponto P(0;2;7) e o seu traço frontal, F2, tem 3 cm de cota.

38 - Determine as projeções da reta s perpendicular à reta b, sabendo que:

• a reta b é definida pelo ponto B(-2;2;9) e pelo seu traço horizontal, H1, que tem 4 cm de abcissa e 8 cm de afastamento;

• a reta s contém o ponto S(-4;3;0).

39 - Determine as projeções da reta r perpendicular à reta a, considerando:

• a reta a contém o ponto A(2;6;7) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos de 55° (a.e.) e 40° (a.e.), respetivamente;

• a reta r contém o ponto P(-3;4,5;2).

40 - Determine as projeções da reta s ortogonal à reta r, sabendo que:

• a reta r contém o ponto A do β1/3, com 4 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;

• as projeções horizontal e frontal da reta r fazem, com o eixo x, ângulos de 35° (a.d.) e 45° (a.d.), respetivamente;

• a reta s contém o ponto S(1;2;5) e o ponto R do β2/4, com 2 cm de cota.

Planos Perpendiculares entre si

9 - Determine as projecções

Exercícios Globais

ςερτυθιοπασδφγηξκλζχψωβνμ