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EXERCÍCIOS - PLANOS
Generalidades
Representação de planos em Geometria Descritiva
1 - São dados três pontos do espaço, A, B, e C, não colineares.
Estes três pontos definem um plano.
É dado um quarto ponto ,D, não complanar com os outros três pontos.
Quantos planos podem definir os quatro pontos? Quais?
Quatro planos - Para visualizar esses 4 planos devemos imaginar uma pirâmide de base triangular.
2 - Considere os mesmos pontos A, B, e C, do exercício anterior.
É dada, agora, uma reta r, não contida no plano.
Quantos planos estes quatro elementos (os pontos e a reta) definem?
Para além do plano definido pelos 3 pontos A, B e C podemos ainda definir mais três planos. Cada ponto e reta definem um novo plano.
Planos Definidos por 2 Retas
Planos definidos por duas retas
Projecção de retas pertencentes a planos definidos por duas retas
3 - É dado um plano α, definido por duas retas, r e s.
a reta r passa por A(2;2;1) e por B(-1;1;3);
a reta s contém o ponto C(0;2;4) e é concorrente com r no ponto B;
desenhe as projecções de uma outra reta, m, sabendo que esta está contida em α.
a reta m tem o seu traço frontal com 5 cm de abcissa e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x.
4 - Considere o plano α do exercício anterior.
desenhe as projecções de uma reta f, frontal (de frente), com 3 cm de afastamento e contida em α.
5 - Considere os pontos R(3;2;2), S(-2;1;5) e T(-1;4;2).
Um plano β está definido por duas retas paralelas: a reta a, que passa por R e S, e a recta b, que passa por T.
Determine as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), com 3 cm de cota e contida em β.
VER CORREÇÃO >>>
6 - Um plano α está definido por duas retas, h e f.
A reta h é horizontal (de nível), tem 3 cm de cota e faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45° (a.d.).
A reta f é frontal (de frente), tem 2 cm de afastamento e faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 30° (a.d.).
a) - Qual é a posição relativa das retas h e f? Justifique.
b) - Defina o plano.
c) - Desenhe as projecções de uma reta r, oblíqua, qualquer, contida no plano α (exclua a situação da reta conter o ponto de concorrência das retas h e f).
7 - Considere o plano α do exercício anterior.
Desenhe as projecções de uma outra reta frontal (de frente), f', contida no plano, com 4 cm de afastamento.
Indique, justificando, a posição da reta f' em relação às retas h e f.
8 - É dado um plano α, definido por duas retas, r e h. A reta r é uma reta oblíqua e é concorrente com o eixo x num ponto M e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (a.d.).
As projecções da reta r são perpendiculares entre si.
A reta h é horizontal (de nível), tem 3 cm de cota e faz um ângulo de 45° (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção.
a) Qual é a posição relativa das duas retas? Justifique.
b) Defina o plano.
c) Desenhe as projecções de uma reta f, frontal (de frente), pertencente ao plano e com 6 cm de afastamento.
9 - Um plano γ está definido por duas retas, R e S, concorrentes em P(3;2).
As projecções da reta r são paralelas entre si e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30° (a.e.).
As projecções da reta s fazem ângulos de 45° (a.e.) e 60° (a.e.) com o eixo x, respectivamente a projecção frontal e a projecção horizontal.
Determine as projecções de uma reta m, do plano, sabendo que m é paralela a r e é concorrente com s num ponto A, com 3 cm de cota.
10 - É dado um plano σ, definido por duas retas, r e p, concorrentes em A(2;1;4).
A reta p é de perfil e contém o ponto B(3;1).
A reta r é oblíqua e contém o ponto C(-1;4;2).
Desenhe as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), contida no plano e com 3 cm de cota.
11 - Considere o plano γ do exercício 9.
Desenhe, agora, as projecções de uma reta a, do plano, sabendo que a passa pelo ponto P e que a sua projecção horizontal é perpendicular à projecção horizontal de s.
12 - Considere, mais uma vez, o plano γ do exercício 9.
Desenhe as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), contida no plano e passando por P.
13 - É dado um plano π, definido por duas retas, r e h, concorrentes em P(3;2).
A reta r é oblíqua e as suas projecções são paralelas entre si.
A sua projecção horizontal faz um ângulo de 30° (a.d.) com o eixo x.
A reta h é horizontal (de nível) e faz um ângulo de 45° (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção.
Desenhe as projecções de uma reta f, frontal (de frente), contida no plano e passando por P.
Condição para que uma reta pertença a um plano
14 - Qual é a condição que uma reta deve verificar para pertencer a um plano dado?
15 - Um plano θ está definido por duas retas, h e f, concorrentes.
A reta h é horizontal (de nível), tem 2 cm de cota e faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 60° (a.e.).
A reta f é frontal (de frente), tem 4 cm de afastamento e faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 45° (a.e.).
a) Defina o plano.
b) Desenhe as projecções de uma reta h', horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 4 cm de cota.
Discuta a posição desta reta em relação às retas h e f, justificando o facto de a reta pertencer ao plano.
c) Desenhe as projecções de uma reta f', frontal (de frente), com 2 cm de afastamento, do plano θ.
Discuta a posição desta reta em relação às retas h e f, justificando o facto de a reta pertencer ao plano.
16 - Um plano α está definido por duas retas paralelas, as retas r e s.
A reta r contém o ponto A(2;3;2) e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45° (a.e.) com o eixo x.
Sabe-se que a reta r tem as suas projecções paralelas entre si.
A reta s contém o ponto B(-2;5;3).
a) Defina o plano.
b) Desenhe as projecções de uma reta m, contida no plano α e paralela às retas r e s.
Sobre a reta m sabe-se, ainda, que o seu traço frontal tem -5 de abcissa.
Retas e direcções particulares de um plano
Retas horizontais (de nível) de um plano
Retas frontais (de frente) de um plano
17 - É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s.
A reta r contém os pontos A(2;3;-1) e B(-3;1;5). A reta s contém o ponto C(-3;3;3).
a) Desenhe as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), contida no plano e com 4 cm de cota.
Defina a reta h no contexto do exercício.
b) Desenhe as projecções de uma outra reta horizontal (de nível), h', contida no plano e com 1 cm de cota.
Defina a reta h' no contexto do exercício.
c) Desenhe as projecções de uma terceira reta horizontal (de nível), h", contida no plano e com cota nula.
Onde se situa esta reta?
d) Que conclusão pode extrair sobre retas horizontais (de nível) de um plano?
18 - É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas paralelas, a e b.
A reta a contém os pontos R(-2;-1;3) e S(3;5;1).
A reta b contém o ponto T(3;3;4).
a) Desenhe as projecções de uma reta f, frontal (de frente), contida no plano e com 2 cm de afastamento.
Defina a reta f no contexto do exercício.
b) Desenhe as projecções de uma outra reta frontal (de frente), f', contida no plano e com 3 cm de afastamento.
Defina a reta f' no contexto do exercício.
c) Desenhe as projecções de uma terceira reta frontal (de frente), f", contida no plano e com afastamento nulo.
Onde se situa esta reta?
d) Que conclusão pode extrair sobre retas frontais (de frente) de um plano?
19 - Um plano δ está definido por duas retas frontais (de frente), f e f', paralelas.
A reta f contém o ponto A(0;4;2) e faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 45° (a.d.).
A reta f' contém o ponto B(2;1;3).
Desenhe as projecções de uma terceira reta frontal (de frente), f", sabendo que pertence a δ e tem 3 cm de afastamento.
20 - Um plano θ está definido por duas retas horizontais (de nível), h e h', paralelas.
A reta h contém o ponto M(3;2;2) e faz, com o Plano Frontal de Projecção um ângulo de 45° (a.e.).
A reta h' contém o ponto N(-1;1;4).
Desenhe as projecções de uma terceira reta horizontal (de nível), h", sabendo que pertence a θ e tem 1 cm de cota.
21 - Um plano γ está definido por duas retas, m e h, concorrentes no ponto P(2;4).
A reta m é passante (oblíqua) e faz, em projecção frontal, um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x.
A reta h é horizontal (de nível) e faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45° (a.e.).
Desenhe as projecções de uma reta f, frontal, (de frente) do plano, passando por P.
22 - Um plano θ está definido por duas retas, r e p, respectivamente passante (oblíqua) e de perfil.
A reta p está definida por A(-2;1;4) e B(-2;3;2).
A reta r é concorrente com p no ponto A e com o eixo x num ponto C, com 3 cm de abcissa.
Desenhe as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e passando por A.
Retas notáveis de um plano
Retas de intersecção de um plano com os planos bissectores.
Reta de intersecção de um plano com o β1/3.
Reta de intersecção de um plano com o β2/4.
23 - Um plano θ está definido por duas retas, h e f, concorrentes num ponto P do 1° Diedro.
A reta h é horizontal (de nível), tem 3 cm de cota e faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 40° (a.e.).
A reta f é frontal (de frente), tem 2 cm de afastamento e faz um ângulo de 55° (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determine as projecções da reta i, a reta de intersecção de θ com o β1/3.
24 - Considere o plano θ do exercício anterior.
Determine as projecções da reta i, a reta de intersecção de θ com o β2/4.
25 - É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s.
A reta r contém os pontos A(2;2;3) e B(-1;-1;4).
A reta s contém o ponto C(-1;3;1).
Determine as projecções das retas i e i', respectivamente as retas de intersecção de α com o β1/3 e com o β2/4.
26 - Um plano γ está definido por duas retas concorrentes, a e b.
A reta a passa pelo ponto R(-1;4;1,5) e o seu traço frontal tem 1 cm de abcissa e 2 cm de cota.
A reta b é concorrente com a em R e passa por S(3;2;-1).
a) Defina o plano.
b) Determine as projecções das retas i e i', respectivamente as retas de intersecção de γ com o β1/3 e com o β2/4.
27 - Um plano γ está definido por duas retas, f e h.
A reta f é frontal (de frente), tem 2 cm de afastamento e faz um ângulo de 60° (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção.
A reta h é horizontal (de nível), tem 4 cm de cota e faz um ângulo de 45° (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção.
Determine as projecções das retas i e i', respectivamente as retas de intersecção de γ com o β1/3 e com o β2/4.
Retas de intersecção de um plano com os planos de projecção
Reta de intersecção de um plano com o Plano Frontal de Projecção
Reta de intersecção de um plano com o Plano Horizontal de Projecção
28 - O plano δ é definido por duas retas, a e b, concorrentes em P(0;1;3).
A reta a tem as suas projecções paralelas entre si e o seu traço horizontal tem 4 de abcissa.
A projecção frontal de b é perpendicular à projecção frontal de a e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 60° (a.e.).
a) Determine as projecções da reta i, a reta de intersecção de δ com o Plano Frontal de Projecção.
De que reta se trata?
b) Determine as projecções da reta i', a reta de intersecção de δ com o Plano Horizontal de Projecção.
De que reta se trata?
29 - Um plano σ está definido por duas retas paralelas, a e b.
A reta a passa pelo ponto A(0;2;2), o seu traço frontal tem 6 cm de cota e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (a.d.).
A reta b passa pelo ponto B(0;1;5).
a) Determine as projecções da reta i, a reta de intersecção de σ com o Plano Frontal de Projecção.
De que reta se trata?
b) Determine as projecções da reta i', a reta de intersecção de σ com o Plano Horizontal de Projecção.
De que reta se trata?
30 - Um plano ψ está definido por duas retas oblíquas, a e b, paralelas entre si.
A reta a passa por A(2;3,5;2) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (a.d.).
O seu traço horizontal tem 5 cm de afastamento.
A reta b contém o ponto B(2;-1;4).
Determine as projecções das retas de intersecção do plano ψ com os planos de projecção.
31 - Um plano γ está definido por duas retas, h e f.
A reta h é horizontal (de nível), tem 2 cm de cota e faz um ângulo de 60° (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção.
A reta f é frontal (de frente), tem 5 cm de afastamento e faz um ângulo de 45° (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção.
Determine as projecções das retas i e i', respectivamente as retas de intersecção de γ com o Plano Horizontal de Projecção e o Plano Frontal de Projecção.
Projecção de pontos pertencentes a planos
Condição para que um ponto pertença a um plano
Projecção de pontos pertencentes a planos, sendo dadas as suas coordenadas
32 - Considere o plano ψ do exercício 30.
a) Qual é a condição para que um ponto pertença a um plano?
b) Determine as projecções de um ponto P(3;4) pertencente ao plano.
33 - Considere um plano α definido por duas rectas paralelas, a e b.
A recta a passa por R(2;3;2). Sobre a recta a sabe-se, ainda, que a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (a.d.) e que o seu traço frontal tem -1 de cota.
A reta b passa por S(-1;3;4).
Determine as projecções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo:
- A tem 1,5 de abcissa e 3 de cota;
- B tem -3 de abcissa e 2 de afastamento.
34 - É dado um plano α, definido por duas retas horizontais (de nível) paralelas, h e h'. A reta h contém o ponto A(0;5;3) e faz um ângulo de 45° (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção.
A reta h' contém o ponto B(0;2;5).
Desenhe as projecções de um triângulo [PQR], contido no plano, sendo P(5;1), Q(6;5) e R(2;6).
35 - Um plano θ está definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s.
A reta r passa pelo ponto R(-2;2;3) e a sua projecção frontal faz, com o eixo i, um ângulo de 45° (a.d.).
Sabe-se, ainda, que o seu traço frontal tem -2 de cota.
A reta s passa por S(2;2;6). Desenhe as projecções do triângulo [ABC], contido em θ, sendo A(2;5), B(1;3) e C(3;9).
Planos definidos por três pontos não colineares
Planos definidos por uma reta e um ponto exterior à reta
36 - Um plano θ está definido por A(-2;2;5), B(1;4;1) e C(3;2;2), trâs dos seus pontos.
Determine as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota.
Considere o mesmo plano θ e determine as projecções do ponto P(3;4), pertencente ao plano.
37 - Um plano α está definido por uma reta h, horizontal (de nível), e por um ponto P(-1;4;2).
A reta h faz um ângulo de 40° (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção e contém o ponto R(2;3;4).
Determine as projecções de uma reta f, frontal (de frente), com 2 cm de afastamento e contida em α.
38 - Considere o plano α do exercício anterior.
Determine as projecções do ponto A(1;3) pertencente a α.
39 - Considere, ainda, o plano α do exercício 37.
Determine as projecções de uma reta p, de perfil, contida no plano α e com 1 cm de abcissa.
40 - Considere um plano α definido por trâs pontos: A(3;2;5), B(1;4;2) e C(-2;2;2).
Desenhe as projecções da reta i, a reta de intersecção do plano com o β1/3.
41 - Um plano δ está definido por uma reta p e por um ponto C(2;1;2).
A reta p é de perfil e contém os pontos A(-2;2;5) e B(-2;4;1).
Determine as projecções do ponto P(2;3), pertencente ao plano.
42 - Um plano σ está definido por uma reta p, de perfil, e um ponto T(2;2;4).
A reta p é passante e contém o ponto S(-2;5;6).
Desenhe as projecções de uma reta h, horizontal (de nível), contida no plano σ e com 6 cm de cota.
Defina a reta h no contexto do exercício.
43 - Considere o plano σ do exercício anterior.
Desenhe, agora, as projecções de uma reta f, frontal (de frente), pertencente ao plano e com 4 cm de afastamento.
Defina a reta f no contexto do exercício.
PLANOS DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS
Traços de um plano
44 - O que entende por traço horizontal de um plano?
45 - O que entende por traço frontal de um plano?
46 - É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas, r e s, paralelas.
A reta r passa pelo ponto A(-1;3;2) e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30° (a.d.) com o eixo x.
Sabe-se, ainda, que o traço frontal de r tem 6 cm de cota.
A reta s contém o ponto B(2;2;1).
Determine os traços do plano α.
48 - É dado um plano γ, definido por duas retas, a e b, concorrentes no ponto P(2;4).
A reta a tem as suas projecções paralelas entre si e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45° (a.e.) com o eixo x.
As projecções da reta b fazem, ambas, ângulos de 30° (a.e.) com o eixo x.
Determine os traços do plano γ.
49 - É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas, r e s.
A reta r contém o ponto M(2;1;4) e o seu traço frontal tem abcissa nula e 7 cm de cota.
A reta s é paralela à reta r e contém o ponto N(0;2;5).
Determine os traços do plano.
50 - Um plano θ está definido por duas retas oblíquas, r e s, concorrentes em P(4;2).
A reta r tem as suas projecções paralelas entre si e faz, em projecção frontal, um ângulo de 45° (a.d.).
As projecções de s fazem, ambas, ângulos de 60° (a.e.) com o eixo x.
Determine os traços do plano.
51 - É dado um plano γ, definido por uma reta r e pelo ponto P(0;1;3).
A reta r passa pelo ponto A(0;4;1) e as suas projecções frontal e horizontal fazem, com o eixo x, ângulos de 45° (a.d.) e 30° (a.e.), respectivamente.
Determine os traços do plano.
52 - Determine os traços de um plano λ, definido por um ponto A e por uma reta r, sendo dados:
- A(0;4;1);
- a reta r contém o ponto B(1;1;2), tem as suas projecções paralelas entre si e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45° (a. e.) com o eixo x.
53 - É dado um plano α, definido por duas retas concorrentes:
- uma reta r, oblíqua, e uma reta p, de perfil.
As duas retas são concorrentes no ponto A(3;5;2).
As projecções da reta r são perpendiculares entre si e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45° (a.e.) com o eixo x.
A reta p contém o ponto B(1;4).
Determine os traços do plano α.
54 - É dado um plano δ, definido pelos pontos A(0;2;4), B(3;2;1) e C(-3;5;2).
Determine os traços do plano.
55 - É dado um plano σ, definido por trâs pontos, R(3;5;-1), S(1;2;2) e T(-3;-1;2).
Determine os traços do plano.
56 - Um plano γ está definido por duas retas concorrentes, a e b.
A reta a passa pelo ponto R(-1;4;1,5) e o seu traço frontal tem 1 cm de abcissa e 2 cm de cota.
A reta b é concorrente com a em R e passa por S(-2;2;3).
Determine os traços do plano.
57 - Um plano θ está definido por uma reta m, oblíqua, e por um ponto S(0;1;1).
A reta m passa pelo ponto R(0;2;3).
A projecção frontal da reta m faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (a.d.) e o seu traço horizontal tem 4 cm de afastamento.
Determine os traços do plano.
58 - É dado um plano α, definido por duas retas concorrentes, r e s.
As duas retas são passantes.
A reta r é uma reta do β1/3 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x.
As projecções da reta s são perpendiculares entre si e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60° (a.d.) com o eixo x.
Determine os traços do plano.
Projecção de retas pertencentes a planos definidos pelos seus traços.
59 - Um plano δ está definido pelos seus traços
- fδ abre à esquerda e faz um ângulo de 30° com o eixo x;
- hδ abre também à esquerda e faz, com o eixo x, um ângulo de 45°.
a) Qual é a condição para que uma reta pertença a um plano?
b) Determine as projecções de uma reta r, oblíqua, pertencente ao plano, sabendo que a sua projecção frontal é perpendicular ao traço frontal do plano e que o seu traço frontal tem 2,5 cm de cota.
60 - É dado um plano θ, definido pelos seus traços, que são concorrentes com o eixo x num ponto R, com 5 cm de abcissa.
O traço frontal de θ faz, com o eixo x, um ângulo de 60° (a.d.).
O seu traço horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30° (a.d.).
Determine as projecções de uma reta m, oblíqua, pertencente ao plano, sabendo que o traço horizontal de m tem 3 cm de afastamento e que a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x.
61 - É dado um plano α, definido pelos seus traços que fazem, com o eixo x, ângulos de 45° (a.e.) e 30° (a.d.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal.
Desenhe as projecções de uma reta a, pertencente a α, sabendo que o seu traço frontal tem 2 cm de cota e que a sua projecção frontal faz um ângulo de 50° (a.d.) com o eixo x.
62 - Considere o plano θ do exercício 60.
Desenhe as projecções de uma reta p, de perfil, pertencente ao plano e com 2 cm de abcissa.
63 - É dado um plano ψ definido pelos seus traços, que estão coincidentes.
O traço frontal de ψ faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (a.e.).
Desenhe as projecções de uma reta r, pertencente ao plano, sabendo que o seu traço frontal tem 4 cm de cota e que a sua projecção frontal faz um ângulo de 30° (a.e.) com o eixo x.
64 - Considere, mais uma vez, o plano θ do exercício 60.
Desenhe as projecções de uma reta r, do plano, sabendo que r é passante e que a sua projecção frontal faz um ângulo de 30° (a.d.) com o eixo x.
65 - É dado um plano α, cujos traços estão coincidentes.
O traço horizontal do plano faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x.
Determine as projecções de uma reta r, pertencente ao plano, sabendo que r é uma reta passante e que a sua projecção frontal é perpendicular ao traço frontal do plano.
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