Modulo

Einführung

Modulo (mod) ist eine mathematische Funktion, die den Rest aus einer Division zweier ganzer Zahlen bestimmt.

Beispielrechnung:

10 mod 3 = 1 (sprich: „zehn modulo drei ist gleich eins“)

Denn 10 : 3 = 3, Rest 1

(3 x 3 + 1 = 10)

Modulare Arithmetik

In der Mathematik ist die modulare Arithmetik ein Arithmetiksystem für ganze Zahlen, bei dem sich Zahlen bei Erreichen eines bestimmten Wertes - des Moduls (Pluralmodule) - "umlaufen".

Beispiel 12-Stunden Uhr

Eine bekannte Verwendung der modularen Arithmetik ist die 12-Stunden-Uhr, bei der der Tag in zwei 12-Stunden-Perioden unterteilt ist. Diese Zeitdarstellung ist vor allem in englischsprachigen Ländern üblich. Hier gilt, wenn es 9:00 Uhr ist, ist es 4 Stunden später 1:00 Uhr. In zum Beispiel Deutschland würde die spätere Zeit 9 + 4 = 13 ergeben. Dies wäre für die 12-Stunden-Uhr nicht die richtige Lösung, da die Uhrzeit alle 12 Stunden "umläuft". Da die Stundenzahl nach Erreichen von 12 von vorne beginnt, kann diese Berechnung durch Modulo 12 abgebildet werden. 12 nicht nur mit 12 selbst, sondern auch mit 0 kongruent. Oder anders formulier; die als "12:00" bezeichnete Zeit kann auch als "0:00" bezeichnet werden.

Implementierung

DIV- und MOD-Befehle bzw. Operatoren (für ganzzahlige Division und Restbildung) sind in den meisten Programmiersprachen (und sogar in CPUs) genau diesem Alltagsansatz entsprechend implementiert.

Der Operator % (Prozentzeichen) dient in Java bei ganzen Zahlen dazu, den Divisionsrest zu ermitteln. Er kann für alle ganzzahligen Datentypen wie insbesondere int und long verwendet werden. Um beispielsweise den Divisionsrest von 50 durch 7 zu ermitteln, schreibt man "50 % 7".

Es gilt immer:

Wenn zahl % divisor = i ist, und zahl / divisor = j ist, dann gilt: zahl = divisor*j + i.

In Worten:

Das Ergebnis der Ganzzahldivision multipliziert mit dem Dividenden plus dem Modulo ergibt

wieder die ursprüngliche Zahl.