Arithmetische Reihe

Diese Summenformel wie auch die Summenformel für die ersten Quadratzahlen war bereits in der vorgriechischen Mathematik bekannt.

Carl Friedrich Gauß entdeckte diese Formel als neunjähriger Schüler wieder. Die Geschichte ist durch Wolfgang Sartorius von Waltershausen überliefert:

„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.)“

– Wolfgang Sartorius von Waltershausen

Erklärung

Wie berechnet man die Summe 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 möglichst schnell? Man vertauscht die Reihenfolge der Summanden wie folgt: Zuerst addieren wir 8 + 1, die größten und kleinsten Werte. Dann berechnen wir 7 + 2, die zweitgrößten und zweitkleinsten Werte. Das Ergebnis in beiden Fällen 9. Wie wäre es mit 6 + 3 ? Auch 9. Zuletzt, 5 + 4. Noch einmal 9! Das Ergebnis:

​(8+1)+(7+2)+(6+3)+(5+4)​​​​​= 9 + 9 + 9 + 9​ = 4 * 9 ​= 36 .

Es gibt vier Paare von Zahlen, die sich jeweils zu 9 addieren. Allgemein kann man mit zwei Schritten jede Folge von aufeinander folgenden Ganzzahlen zusammenzufassen:

1. Füge die kleinste und die größte Zahl hinzu.

2. Multiplizieren Sie mit der Anzahl der Paare.

Dies gilt auch für ungleiche Paare. Zählen Sie einfach die ungepaarte Zahl in der Mitte der Sequenz als ein halbes Paar. Ein Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Es gibt zwei volle Paare 1 + 5 und 2 + 4, jeweils summierend auf 6 und ein halbes Paar 3,die Hälfte von 6. Was insgesamt 2,5 Paare ergibt:

2.5 * 6 = 15

Allgemein gilt die Summe der kleinsten und größten Summanden ist n + 1 . Da es n Zahlen insgesamt gibt, gibt es n / 2 Paare (ob n ungerade oder gerade ist) . Daher ist die Summe der Zahlen von 1 bis n :

(n + 1) * (n / 2)

Dies entspricht

n​²​​/2 + n/2