Primfaktorzerlegung
Einführung
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Primzahlen bis 20 sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Teilbarkeitsregeln
Im Rahmen einer Primfaktorzerlegung gilt es herauszufinden, ob eine Zahl durch eine bestimmte Primzahl teilbar ist. Dafür gibt es bestimmte Regeln, die sog. Teilbarkeitsregeln. Eine ganze Zahl ist teilbar durch...
2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist (also 0, 2, 4, 6 oder 8 ist)
3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist
5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist)
Es ist relativ einfach zu erkennen, ob eine Zahl durch 2, 3 oder 5 teilbar ist. Wenn allerdings größere Primzahlen im Spiel sind (siehe Beispiel 5), kommt man um eine schriftliche Division oder den Einsatz des Taschenrechners zur Überprüfung der Teilbarkeit meist nicht mehr herum.
Vorgehensweise
Primfaktor suchen (= Primzahl, die die Zahl teilt)
Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
Primfaktor der (geteilten) Zahl suchen
(Geteilte) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
...
..
Man macht solange weiter, bis es sich bei der (geteilten) Zahl um eine Primzahl handelt.
Die Suche nach einem geeigneten Primfaktor (Schritt 1) beginnt man am besten bei der kleinsten Primzahl 2. Danach sucht man bei der nächstgrößeren Primzahl weiter.
Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren.
Beispiel
Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 12.
1.) Primfaktor suchen
Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
Wir fragen uns: Ist 12 durch 2 teilbar?
Antwort: Ja.
Begründung: Laut den Teilbarkeitsregeln ist eine ganze Zahl durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
12:2=612:2=6
Den ersten Primfaktor haben wir gefunden.
Da 6 keine Primzahl ist, sind wir noch nicht fertig.
3.) Primfaktor suchen
Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor wieder bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 6 durch 2 teilbar?
Ja.
4.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
6:2=36:2=3
Da es sich bei 3 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.
Ergebnis
Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:
12=2⋅2⋅3