Séance organisée par Marie-Luce Taupin et Marc Hoffmann.
Lieu : IHP, Amphithéâtre Darboux.
14h00 : Michèle Thieullen (LPMA et Université Pierre et Marie Curie)
Titre : Deux classes de modèles probabilistes de l'activité électrique d'un neurone. Théorèmes limites et ergodicité.
Résumé : Dans cet exposé nous présenterons deux classes de modèles probabilistes qui modélisent l'activité électrique d' un neurone. Il s' agit de modéliser l'évolution de la différence de potentiel au niveau de la membrane au cours du temps. Différentes sources de bruit peuvent agir sur cette évolution et donner lieu soit à des modèles de type Processus de Markov Déterministes par Morceaux (PDMP) soit à des diffusions multidimensionnelles fortement dégénérées dont les coefficients peuvent dépendre du temps. Ces modèles contiennent plusieurs échelles de temps. Dans l'exposé nous présenterons des théorèmes limites et des propriétés d' ergodicité pour ces différents modèles. Nous présenterons également les liens entre ces questions et des problèmes d' estimation de paramètres.
15h00 : Nicolas Brunel (ENSIIE et Laboratoire Statistique et Génome, UEVE)
Titre : Parameter estimation in Differential Equation with Orthogonality Conditions"
(travail avec Quentin Clairon, Laboratoire Analyse et probabilité, UEVE).
Résumé : Parameter estimation of Ordinary Differential Equations (ODEs) with Nonlinear Least Squares (or MLE) is often confronted to complex and ill-posed optimization problem. As a consequence, alternative estimators are useful for obtaining reliable estimates. With a “Functional Data Analysis” point of view, we propose a gradient matching approach for the estimation of parametric ODEs observed with noise. Starting from a nonparametric proxy of a true solution of the ODE, we build a parametric estimator based on a variational characterization of the solution. As a Generalized Moment Estimator, our estimator must satisfy a set of orthogonal conditions that are solved in the least squares sense. Despite the use of a nonparametric estimator, we prove the root-n consistency and asymptotic normality of the Orthogonal Conditions estimator. We derive confidence sets thanks to a closed-form expression for the asymptotic variance, and we give a practical way to compute and optimize the variance by adaptive reweighting.
16h00 : Valentine Genon-Catalot (MAP5 et Université Paris-Descartes)
Titre : Asymptotic equivalence of nonparametric diffusion and Euler scheme experiments. (travail avec Catherine Larédo, INRA et LPMA)
Résumé : En statistique paramétrique ou non paramétrique pour les diffusions discrétisées, il est classique, pour construire des estimateurs de la dérive, d'utiliser le schéma d'Euler comme modèle approché pour la diffusion discrétisée. C'est pourquoi il est utile de donner un fondement à cette approximation en termes d'équivalence d'expériences statistiques, au sens de la théorie de Le Cam.
Dans cet article, nous montrons l'équivalence asymptotique globale de l'observation discrétisée de la diffusion et du schéma d'Euler correspondant au même pas de discrétisation. Nous traitons le cas où le coefficient de diffusion est connu mais non constant. L'équivalence repose sur une construction explicite utilisant des expériences changées de temps.