Séance du 30 mai 2011

Lundi 30 mai 2011

Organisateurs: Karine Tribouley et Estelle Kuhn

14h00: Béatrice Laurent (INSA Toulouse)

Tests adaptatifs de comparaison de l'intensité de deux processus de Poisson

En collaboration avec Magalie Fromont et Patricia Reynaud-Bouret

Résumé: Nous considérons deux processus de Poisson indépendants N(1) et N(-1) observés sur un espace mesurable X, d'intensités respectives f et g relativement à une mesure mu sur X. Nous notons dN(1) et dN(-1) les mesures ponctuelles associées à ces deux processus. Nous proposons de tester l'hypothèse (H0): "f = g" contre l'alternative (H1): "f <> g". La première difficulté est de trouver une statistique de test libre de f sous l'hypothèse (H0). Pour cela, nous utilisons une approche de type ré échantillonnage qui peut être mise en place grâce à certaines propriétés spécifiques aux processus de Poisson. Ces propriétés se résument de la façon suivante : Soit N le processus agrégé (dé.fini par la mesure ponctuelle dN = dN(1)+dN(-1)), et soit (epsilon_x) une famille de variables i.i.d. de loi de Rademacher. On considère les processus N(1)_epsilon et N(-1)_epsilon respectivement formés des points de N pour lesquels epsilon_x = 1 et epsilon_x = -1. Ce sont deux processus de Poisson indépendants, de même loi sous (H0) et conditionnellement à N que (N1;N(-1)). Il est donc possible de simuler sous (H0) la loi conditionnelle à N d'une statistique de test fonction de (N1;N(-1)).

Soit N le processus agrégé et les marques (epsilon_x0) défi.nies par epsilon_x0 = 1 si x appartient à N1 et epsilon_x0 = -1 si x appartient à N(-1). Nous proposons une statistique de test de la forme T =sum( K(x,y) epsilon_x0 epsilon_y0 ) où K est un noyau symétrique.

Nous construisons une procédure de test de niveau .fixé, et nous étudions la puissance du test pour plusieurs types de noyaux. Nous proposons ensuite une procédure de tests multiples, obtenue en agrégeant des tests associés à une collection de noyaux, qui est adaptative sur diverses classes d'alternatives.

Nous présentons également la mise en oeuvre en pratique de la procédure de tests multiples

ainsi que des résultats de simulations.

15h00: Philippe Soulier (ModalX Nanterre)

Propriétés extrémales de processus à volatilité stochastique.

Résumé : Les processus à volatilité stochastique ont été introduits en économétrie financière pour rendre compte de deux propriétés empiriquement constatées des séries financières: queue de distribution épaisse et mémoire longue de la volatilité. De nombreux travaux théoriques et empiriques ont été consacrés aux propriétés de longue mémoire, mais assez peu aux propriétés extrémales de ces processus. Nous présentons quelques problèmes et résultats récents, notamment la validation théorique d'un estimateur de l'indice des valeurs extrêmes et un test d'indépendances asymptotique pour des processus à volatilité stochastique et à mémoire longue.

16h00: José Léon (Universidad Central de Venezuela et Paris Descartes)

Anisotropy estimation in fractal random fields.

Résumé: In this work we use infill statistics to estimate the anisotropy in a stationary Gaussian random field with parameter in the plane. We assume that the field has a spectral density with two multiplicative terms. The first one is a negative power of the norm of the spectral variable say 2H-2. Thus the irregularity of the trajectories of the field are of the same order that the trajectories of the multidimensional fractional Brownian motion. The second term is a homogeneous function of degree zero. We estimate this last function by using the p-variations that are constructed by two methods. The first one uses the second order increments of the process through a line in a fixed direction. The second one uses a weighted radon transform. We show, by means of the CLT for non-linear functional of Gaussian processes belonging to the Ito-Wiener Chaos, consistence and asymptotic normality. An interesting fact is that the variations of the radon transform process considered as a random vector indexed by the directions are asymptotically independent. This allows us also to introduce parametric estimation and tests.