7- LOGARITMOAK
AZTERKETAK ARIKETAK
Ondorengo azalpen guztia bengoetxeamatematika web gunean eskegita daukaten apunteeak hartu eta apur bat moldatuz egin dogu:
1.- HIRU ERAGIKETA
ab = c adierazpenean, a, b, eta c hiru zenbaki ordezkatzen dituzten hiru letra dira. Horietako bi ezagunak badira eta hirugarren bat ezezaguna, ondorengo hiru ERAGIKETA ezberdin definitzen dira ezezaguna zein denaren arabera:
1- Berrekizun (a) eta berretzailea (b) ezagunak dira. Eragiketa honi BERREKETA deitzen diogu:
23 = c orduan c = 8
2- b berretzailea eta c emaitza ezagunak dira.
Adibidea: a3 = 8 orduan a == 2
a-ren balioa ezagutzeko, ezaguna zaigun beste eragiketa bat egingo dugu: ERROKETA.
3.- Azkenik, a berrekizuna eta c emaitza ezagutzen baditugu.
Adibidea : 2b = 8
Kasu honetan jakin nahi duguna b berretzailea da; beste modu baten esanda: 2 ber zenbat ematen du emaitza moduan 8?
Orain arte ezagutzen ditugun eragiketak, ez digute berretzaile hori kalkulatzeko modurik eskaintzen. Beraz, eragiketa berri baten beharrean aurkitzen gara.
Eragiketa hori, LOGARITMOA da.
Aurreko adibidearekin jarraituz, 8-ren logaritmoa 2 oinarrian 3 dela esango dugu, 3 izateagaitik 2-ri ipini behar zaion berretzailea 8 lortzeko.
2.- LOGARITMOA
X zenbaki baten logaritmoa “a” oinarrian (a > 0) zera da: X zenbakia lortzeko a oinarriari jarri behar zaion berretzailea:
loga b = c orduan ac=b
- LOGARITMO HAMARTARRAK (a=10): oinarriatzat 10 zenbakia dutenak dira. Logaritmo hauetan, gehien erabiltzen direnak izateagaitik, oinarria ez da idazten.
Beraz, hemendik aurrerakoan , log 10 38 idatzi nahi duzunean, log 38 nahikoa izango duzu.
Adibidez: log 100 = (zer berretzaile ipini behar diogu 10-eri emaitza 100 izateko?)
- LOGARITMO NEPERIANOAK (a=e): oinarritzat Neper-ren zenbakia edo “e” zenbakia dutenak dira. Horrela deitutako zenbakiaren balioa 2,718281… da, zenbaki irrazionala da (e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...).
- OINARRIZKO ONDORIO BATZUK:
- Unitatearen logaritmoa, edozein oinarritan, zero da : log a 1 = 0
- Oinarriaren logaritmoa bat da : log a a = 1
- Zenbaki negatiboek ez dute logaritmorik.
- Unitatea baino handiago diren zenbaki positiboek, logaritmo positibo dute, eta 1 baino txikiagoek, logaritmo negatiboa dute.
3.- PROPIETATEAK
BI ZENBAKIREN ARTEKO BIDERKADURA ETA ZATIDURAREN LOGARITMOA.
Bi zenbakiren arteko biderkaduraren logaritmoa, zenbaki bakoitzaren logaritmoen batuketa da.
log a (AB) = log a A + log a B
Frogapena:
Suposa dezagun A eta B bi zenbaki direla, eta beraien logaritmoak “m” eta “n”direla.
eta orduan
eta
beraz
Frogatu nahi genuen bezala.
Bi zenbakiren arteko zatiduraren logaritmoa zenbaki bakoitzaren logaritmoen kenketa da.
Frogapena:
Suposa dezagun A eta B bi zenbaki direla, eta beraien logaritmoak “m” eta “n”direla.
eta orduan
eta
beraz
Frogatu nahi genuen bezala.
Ikus ezazu nola kalkulatu ahal ditugun honako logaritmoak, bi propietate hoiek erabiliz:
Log 5 (25·125) = log5 25 + log5 125 = 2 +3 = 5 eta Log 5 (25/125) = log5 25 - log5 125 = 2 -3 = -1
BERREDURA ETA ERRODURA BATEN LOGARITMOA.
Biderkadura baten logaritmoa nola kalkulatzen den kontutan izanik, saia zaitez azpian dituzun berdintzak frogatzen eta pentsatu propietate orokorra:
Log a A2 = log a (A ·A) = log a A + loga A = 2·log a A
Loga A3 =
Log a A4 =
..........
log a An =
Berreketa baten logaritmoa : log a An = n·loga A
Erroketa baten logaritmoa :
EDOZEIN LOGARITMOREN KALKULUA NAHI DAN OINARRIA ERABILIZ
Orain arte egindako ariketetan, eskatutako logaritmoak kalkulatzeko, nahikoa zenuen propietateak aplikatzeaz, agertzen ziren zenbakiak, oinarriaren berredura osoak baitziran, kasu guztietan. Beste edozein kasutan kalkulagailua erabiliko dugu. Adibidez,log 384´25 edo log 0´037 kalkulatzeko. Zure kalkulagailua “ln” ipintzen duen logaritmo nepertarrak edo neperianoak kalkulatzeko dela.
Beste edozein logaritmo kalkulatzeko, OINARRI-ALDAKETA erabiliko dugu, logaritmoekin, behar bada, egon daitekeen lege edo propietaterik garrantzitsuena dena:
Zenbaki baten a oinarriko logartmoa logaritmo hamartarretan edo logaritmo nepertarretan oinarrituz lor daiteke, ondoko berdintasunaren arabera:
Frogapena:
loga P = x beraz ax = P
log P = y beraz 10y = P ax = 10y
Bi atalen logaritmo hamartarrean bilatuz:
log(10y ) = log (ax ) orduan y = x loga
x eta y-ren balioetaz ordezkatuz :
logP = loga P·loga orduan loga P =