01ª Aula (terça-feira 21/03/2023)
Apresentação da disciplina: Conteúdo, referências bibliográficas, forma de avalição e dúvidas dos alunos.
Introdução: A invenção dos números imaginários: contribuições de Del Ferro, Tartáglia e Cardano. Duelos matemáticos.
02ª Aula (quinta-feira 23/03/2023)
Números complexos: Definição segundo Hamilton. Mergulho isomórfico dos reais nos complexos. Notação de Euler. Partes real e imaginária. Quocientes, potências, Teorema do Binômio de Newton.
3ª Aula (terça-feira 28/03/2023)
Conjugado complexo e norma: Conjugação e norma, propriedades. Desigualdade triangular. Identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy.
4ª Aula (quinta-feira 30/03/2023)
Representação geométrica dos números complexos: Soma, diferença. Círculos, discos abertos e fechados. Representação polar. Argumento,argumento principal, produto e quociente. Identidade de De Moivre.
5ª Aula (terça-feira 04/04/2023)
Raízes de números complexos: Ráizes inteiras e potências racionais. Raízes n-ésimas de 1. Representação geométrica.
Equações quadráticas: Solução de equações álgebricas de grau 2.
6ª Aula (terça-feira 11/04/2023)
Equações cúbicas e quárticas: Solução de equações álgebricas de graus 3 e 4 por radicais. Método de Cardano.
Conjuntos abertos e fechados. Vizinhanças, pontos interiores, exteriores, de fronteira e limites (ou de acumulação). Conjuntos limitados, conjuntos compactos. Diâmetro de um conjunto. Distância entre conjuntos.
7ª Aula (quinta-feira 13/04/2023)
Funções e continuidade: Funções. Funções complexas de uma variável complexa. Limites, propriedades dos limites. Continuidade, continuidade uniforme. Descrição geométrica de uma função w=f(z).
8ª Aula (terça-feira 18/04/2023)
Sequências e séries de números complexos: Sequências convergentes e divergentes, propriedades. Séries convergentes, divergentes.
9ª Aula (quinta-feira 20/04/2023)
Sequências e séries de números complexos: Séries absolutamente convergentes e condicionalmente convegentes, propriedades. Teste da raiz n-ésima.
10ª Aula (terça-feira 25/04/2023)
Compacticidade: Teorema da intersecção de Cantor. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema da cobertura de Heine-Borel. Lema da cobertura de Lebesge.
Conjuntos arco-conexos e domínios. Curvas, domínios e domínios estrelados.
O plano complexo extendido: A projeção estereográfica. A esfera de Riemann.
3ª Lista (atualizada em 20/05/23 às 19h)
11ª Aula (quinta-feira 27/04/2023)
A derivada complexa. Derivadas, funções analíticas (holomorfas), funções inteiras. Exemplos.
12ª Aula (terça-feira 02/05/2023)
Séries de potências: Convergência de séries de potências. Teste de Cauchy-Hadamard: Raio de convergência. Analiticidade das séries de potências. Derivada e primitiva termo a termo.
13ª Aula (quinta-feira 04/05/2023)
Séries de potências: Unicidade da expressão em série de potências.
Funções exponecial, trigonometricas e hiperbólicas. Definição e propriedades da função exponencial. O cosseno e o seno complexos. Fórmulas de Euler. Funções hiperbólicas.
14ª Aula (terça-feira 09/05/2023)
O logaritmo complexo: Funções log e Log. Ramos do logaritmo e sua analiticidade.
15ª Aula (quinta-feira 11/05/2023)
O logaritmo complexo: Potências complexas. Inversas das funções trigonométricas e hiperbólicas.
As equações de Cauchy-Riemann: Condições necessárias e suficientes sobre as derivadas parciais de u e v para que f(z)=u+iv seja analítica.
16ª Aula (terça-feira 16/05/2023)
Funções harmônicas: Equação de Laplace. Funções harmônicas conjugadas.
17ª Aula (quinta-feira 18/05/2023)
Dúvidas relativas à 1ª Prova.
18ª Aula (terça-feira 23/05/2023)
Dúvidas relativas à 1ª Prova.
19ª Aula (quinta-feira 25/05/2023)
1ª Prova
20ª Aula (terça-feira 30/05/2023)
Integração ao longo de contornos. Curvas, contornos, integrais de funções complexas ao longo de contornos.
21ª Aula (quinta-feira 01/06/2023)
Teorema de Cauchy para domínios estrelados: Teorema de Cauchy para triângulos. Existência de primitivas de funções analíticas em domínios estrelados. Teorema de Cauchy para domínios estrelados. Exemplos: cálculo de integrais impróprias reais.
22ª Aula (terça-feira 06/06/2023)
Fórmula integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy para uma função analítica num disco aberto.
23ª Aula (terça-feira 13/06/2023)
Aplicações da Fórmula integral de Cauchy: Desigualdade de Cauchy. Teorema de Liouville. Prova do Teorema Fundamental da Álgebra. Teorema de Moreira.
Série de Taylor de uma função analítica. Expanção de uma função analítica em série de Taylor em torno de um ponto.
24ª Aula (quinta-feira 15/06/2023)
Série de Taylor de uma função analítica.
Princípio de continuação analítica. Princípio do módulo máximo. Lema de Schwarz.
25ª Aula (terça-feira 20/06/2023)
Teorema de Cauchy para domínios simplesmente conexos. Homotopia, homotopia relativa aos pontos extremos, homotopia através de curvas fechadas, curvas contráteis, conjuntos simplesmente conexos.
26ª Aula (terça-feira 27/06/2023)
Fórmula generalizada de Cauchy. Índice de uma curva em relação a um ponto. Homotopia versus índice. Fórmula generalizada de Cauchy.
27ª Aula (quinta-feira 29/06/2023)
Expansão de Laurent de uma função analítica. Existência da série de Laurent de uma função analítica num anel.
28ª Aula (terça-feira 04/07/2023)
Classificação de sigularidades isoladas. Singularidades isoladas, essenciais, removívies e polos. Cálculo de polos. Funções meromórficas.
Cálculo do resíduos de uma função analítica num polo.
29ª Aula (quinta-feira 06/07/2023)
Teorema do resíduo de Cauchy. Teorema do resíduo de Cauchy.
Aplicações. Teorema de avaliação de integrais reais.
30ª Aula (terça-feira 11/07/2023)
Dúvidas da 2ª Prova.
31ª Aula (quinta-feira 13/07/2023)
2ª Prova:
Escolher dois itens de cada uma das questões da Seção 5.5 da 5ª Lista, completando 12 itens no total. Entregar as soluções das respectivas questões num manuscrito dentro de um envelope fechado com o nome do(a) discente até a quinta-feira dia 20 de julho de 2023 às 12h na sala 240 do IME (caso o Prof. não estiver na sala, deslizar o envelope por baixo da porta). O trabalho é opcional, individual e aumentará a nota final em no máximo 2,0 (dois) pontos. Trabalhos com escolhas e/ou respostas iguais ou entregues fora do prazo não serão avaliados.