Horário e local das aulas: das 16h40 às 18h30, segunda e quarta-feira na sala 13 do IME e sexta-feira na sala 213 do PAF I.
Horário de atendimento aos estudantes: Terça-feira das 15h às 16h na sala 240 do IME.
Conteúdo (resumo)
§1. Curvas.
1.1 Preliminares. Curvas suaves. Direção tangente. Vetor tangente. Reparametrizações. Curvas regulares. Vetor tangente unitário Comprimeto de arco.
1.2 Curvatura de curvas planas. O círculo osculador. Curvaturas absuluta e orientada. Vetores normal e normal orientado. Curvas com curvatura constante. Teorema Fundamental das curvas planas.
1.3 Curvatura e torção de curvas espaciais. O plano osculador. O círculo osculador. Vetores normal principal e binormal. Curvatura de torção. Forma canônica local das curvas espaciais. Teorema Fundamental das curvas espaciais.
1.4 Classificação de curvas no espaço euclidiano n-dimensional. Curvaturas. Teorema Fundamental.
§2. Superfícies.
2.1 Preliminares. Teorema da função implícita. Teorema da função inversa.
2.2 Variedades do espaço euclidiano n-dimensional. Difeomorfismos. Variedades. Gráficos de aplicações suaves. Conjuntos de nível de valores regulares de aplicações suaves.
2.3 O Espaço Tangente. Funções suaves. Espaço tangente. Diferencial.
2.4 A Primeira Forma Fundamental. Coeficientes da P.F.F. Comprimento de arco. Ângulo entre duas curvas.
2.5 Comprimeto, Área, Volume, etc.... Matriz de Gram.
2.6 Variedades Orientáveis. Campos de vetores normais. Jacobiano da mudança de parâmetros. A faixa de Möebius. Classificação das hipersuperfícies compactas e orientáveis no espaço euclidiano.
§3. A Geometria da Aplicação de Gauss.
3.1 A Aplicação de Gauss. A aplicação de Gauss. O operador de Weingarten. A segunda forma fundamental. Curvatura normal. Seções normais. Curvaturas principais. Curvatura média. Curvatura de Gauss-Kronecker. Pontos elípticos, hiperbólicos parabólicos e planares. Pontos umbílicos. Hipersuperfícies umbílicas. Direções assintóticas. A indicatriz de Dupin.
3.2 A Aplicação de Gauss em coordenadas locais. As curvaturas principais, média e de Gauss-Kronecker como funções dos coeficientes das primeira e segunda formas fundamentais. Superfícies de Revolução. Espaço Tangente vs hipersuperfície em pontos elípticos e hiperbólicos. Gráficos de Funções. E.D.O's que descrevem as linhas de curvatura e assintóticas.
§4. Geometria Intrínseca das Superfícies
4.1 Campos de Vetores Tangentes. Campos suaves de vetores tangentes a uma variedade. Curvas integrais. Fluxo de um campo. Integrais primeiras. Existência de parametrizações cujas curvas coordenadas são: ortogonais, linhas assintóticas, linhas de curvatura.
4.2 Homotetias e Isometrias. Homotetias e Homotetias locais. Isometrias e Isometrias locais.
4.3 Equações de Compatibilidade e Teorema Egregium. Símbolos de Christoffel. Equação de Gauss. Equações de Mainardi-Codazzi. Teorema Egregium de Gauss. Teorema de Bonnet.
4.4 Transporte Paralelo e Geodésicas. Campos de vetores tangentes ao longo de curvas. Derivada covariante de campos tangentes. Campos paralelos ao longo de curvas. E.D.O's que descrevem campos paralelos. Transporte paralelo. Geodésicas. E.D.O's que descrevem geodésicas. Curvatura geodésica de curvas em superfícies. Fórmula de Liouville.
4.5 Teorema de Gauss-Bonnet. Curvas fechadas simples regulares por partes, vértices e ângulos externos. Teorema do índice de rotação. Versão local do Teorema de Gauss-Bonnet. Característica de Euler Poincaré. Gênero de superfícies compactas orientáveis. Versão global do Teorema de Gauss-Bonnet. O 5º Postulado. Teorema de Poincaré.
Bibliografia:
[1] Do Carmo, M.P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, SBM, 5ª Edição, 2012.
[2] Guillemin, V. and Pollack, A., Differential Topology, Prentice-Hall Inc., 1974.
[3] O'Neill, B., Elementary Differential Geometry, Academic Press, 2ª Edição, 2006
[4] Sotomayor, J., Liçoes de Equações Diferenciais Ordinárias, IMPA, 1974.
[5] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish, 1999.
[6] Spivak, M., Calculus on manifolds, W. A. Benjamin. INC, 1965.
[7] Struik, D. J., Lectures on Classical Differencial Geometry, Dover Publications INC, 1988.
[8] Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial, Editora UnB, 1988.
[9] Thorpe, J. A., Elementary Topics in Differential Geometry, Springer, 1979.
Datas das provas:
1ª Prova: 13/09/2019
2ª Prova: 01/11/2019
3ª Prova: 06/12/2019
Critério de avaliação: A nota final será a média das duas melhores notas das provas.