01ª Aula (terça-feira 08/03/2022)
Apresentação da disciplina: Conteúdo, referências bibliográficas, forma de avalição e dúvidas dos alunos.
Introdução: A invenção dos números imaginários: contribuições de Del Ferro, Tartáglia e Cardano. Duelos matemáticos.
02ª Aula (quinta-feira 10/03/2022)
Introdução: A invenção dos números imaginários (um pouco de história).
1ª Lista de Exercícios (última atualização: 31/03/22 às 17h)
3ª Aula (terça-feira 14/03/2022)
Números complexos: Definição segundo Hamilton. Mergulho isomórfico dos reais nos complexos. Notação de Euler. Partes real e imaginária. Quocientes, potências, Teorema do Binômio de Newton.
4ª Aula (quinta-feira 16/03/2022)
Conjugado complexo e norma: Conjugado, propriedades. Norma, propriedades. Desigualdade triangular. Identidade de Lagrange. Desigualdade de Cauchy.
5ª Aula (terça-feira 22/03/2022)
Representação geométrica dos números complexos: Soma, diferença. Círculos, discos abertos e fechados. Representação polar. Argumento,argumento principal, produto e quociente. Identidade de De Moivre.
6ª Aula (quinta-feira 24/03/2022)
Raízes de números complexos: Ráizes inteiras e potências racionais. Raízes n-ésimas de 1. Representação geométrica.
7ª Aula (terça-feira 29/03/2022)
Equações quadráticas, cúbicas e quárticas: Solução de equações álgebricas de graus 2,3 e 4 por radicais. Método de Cardano.
2ª Lista de Exercícios (última atualização:29/04/22 às 17h)
8ª Aula (quinta-feira 31/03/2022)
Conjuntos abertos e fechados. Vizinhanças, pontos interiores, exteriores, de fronteira e limites (ou de acumulação). Conjuntos limitados, conjuntos compactos. Diâmetro de um conjunto. Distância entre conjuntos.
9ª Aula (terça-feira 05/04/2022)
Funções e continuidade: Funções. Funções complexas de uma variável complexa. Limites, propriedades dos limites. Continuidade, continuidade uniforme. Descrição de uma função w=f(z) usando a imagem pela f de certos subconjuntos do z-plano no w-plano.
10ª Aula (quinta-feira 07/04/2022)
Sequências e séries de números complexos: Sequências convergentes e divergentes, propriedades. Séries convergentes, divergentes, absolutamente convergentes e condicionalmente convegentes, propriedades. Teste da raiz n-ésima.
11ª Aula (terça-feira 12/04/2022)
Compacticidade: Teorema da intersecção de Cantor. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema da cobertura de Heine-Borel. Lema da cobertura de Lebesge.
12ª Aula (terça-feira 19/04/2022)
Conjuntos arco-conexos e domínios. Curvas, domínios e domínios estrelados.
O plano complexo extendido: A projeção estereográfica. A esfera de Riemann.
13ª Aula (terça-feira 26/04/2022)
A derivada complexa. Derivadas, funções analíticas (holomorfas), funções inteiras.
14ª Aula (quinta-feira 28/04/2022)
Propriedades das séries de potências: Convergência de séries de potências. Teste de Cauchy-Hadamard: Raio de convergência. Convergência uniforme.
15ª Aula (terça-feira 03/05/2022)
Propriedades das séries de potências: Analiticidade das séries de potências, suas derivadas, e primitivas, que qualquer ordem. Derivação (primitiva) termo a termo. Unicidade da expressão em série de potências em conjuntos com pontos limites.
Funções trigonometricas e exponecial. Definição da exponencial, o cosseno e o seno complexos. Fórmulas de Euler.
16ª Aula (quinta-feira 05/05/2022)
Funções trigonometricas e exponencial. Propriedades da exponencial, o cosseno e o seno complexos. Funções trigonométricas complexas. Funções hiperbólicas complexas
17ª Aula (terça-feira 10/05/2022)
O logaritmo complexo: Funções log e Log. Ramos do logatirmo. Continuidade e analiticidade de Log. Potências complexas. Funções trigonométricas inversas.
18ª Aula (quinta-feira 12/05/2022)
As equações de Cauchy-Riemann: Condições necessárias e suficientes sobre as derivadas parciais de u e v para que f(z)=u+iv seja diferenciável.
Atividade (individual) para entregar (valendo 30% da nota da 1ª Prova): Questões 1, §1.6; 2, §2.3; 7, §2.4 e 3, §2.6. Data de entrega: 31/05/2022.
19ª Aula (terça-feira 17/05/2022)
Funções harmônicas: Equação de Laplace. Funções harmônicas conjugadas.
20ª Aula (quinta-feira 19/05/2022)
Dúvidas da 1ª Prova
21ª Aula (terça-feira 24/05/2022)
Dúvidas da 1ª Prova
22ª Aula (quinta-feira 26/05/2022)
1ª Prova
4ª Lista de Exercícios (última atualização: 05/07/2022 às 19h)
23ª Aula (terça-feira 31/05/2022)
Integração ao longo de contornos. Curvas, contornos, integrais de funções com valores complexos ao longo de contornos.
24ª Aula (quinta-feira 02/06/2022)
Teorema de Cauchy para domínios estrelados: Teorema de Cauchy para triângulos. Existência de primitivas de funções analíticas em domínios estrelados. Teorema de Cauchy para domínios estrelados. Exemplos: cálculo de integrais impróprias reais.
25ª Aula (terça-feira 07/06/2022)
Fórmula integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy para uma função analítica num disco aberto. Desigualdade de Cauchy.
26ª Aula (quinta-feira 09/06/2022)
Aplicações da fórmula integral de Cauchy: Teorema de Liouville. Prova do Teorema Fundamental da Álgebra. Teorema de Moreira.
Série de Taylor de uma função analítica. Expanção de uma função analítica em série de Taylor em torno de um ponto.
27ª Aula (terça-feira 14/06/2022)
Série de Taylor de uma função analítica. Princípio do módulo máximo. Lema de Schwarz.
28ª Aula (terça-feira 21/06/2022)
Teorema de Cauchy para domínios simplesmente conexos. Integração de uma função analítica ao longo de uma curva (continuação analítica da primitiva de uma função analítica ao longo de uma curva). Homotopia, homotopia relativa aos pontos extremos, homotopia através de curvas fechadas, curvas contráteis, conjuntos simplesmente conexos.
29ª Aula (terça-feira 28/06/2022)
Fórmula generalizada de Cauchy. Índice de uma curva em relação a um ponto. Homotopia versus índice. Fórmula generalizada de Cauchy.
5ª Lista de exercícios (última atualização: 01/07/2022 às 14h)
Expansão de Laurent de uma função analítica. Existência da série de Laurent de uma função analítica num anel.
30ª Aula (quinta-feira 30/06/2022)
Classificação de sigularidades isoladas. Singularidades isoladas, essenciais, removívies e polos. Cálculo de polos. Funções meromórficas. Singularidades na fronteira do domínio de uma função analitica.
Teorema do resíduo de Cauchy. Cálculo do resíduos de uma função analítica num polo. Teorema do resíduo de Cauchy.
32ª Aula (terça-feira 05/07/2022)
Dúvidas da 2ª Prova.
33ª Aula (quinta-feira 07/07/2022)
2ª Prova.
Atividade substitutiva: Escolha um item de cada questão da Seção 5.5 da Lista 5. Entregar até quinta-feira dia 14/07 via email usando CamScaner ou similares.