Un poco de historia
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de po-
lémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia
de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos
hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no
fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano
(1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o
ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuacio-
nes algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo “imagi-
narias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números
complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la
solución de un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el pro-
blema no tiene solución. Para Leibniz “el número imaginario es un recurso sutil y maravilloso
del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”
Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema
bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos.
Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no
se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.
El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se
preocuparon de la “naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es un número com-
plejo?”, sino que se dijeron “a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gauss
quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las ma-
temáticas al probar en 1799 el resultado conocido como Teorema Fundamental del álgebra que
afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz
se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos. Merece la
pena que entiendas bien lo que afirma este resultado. Fíjate en cada una de las ecuaciones:
x + 3 = 0, 2x + 3 = 0, x2 − 2 = 0, x2 + 2x + 2 = 0
Cuyas soluciones
x = −3, x = −3/2, x = ±√2, x = −1 ± i
tienen sentido cuando x es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Po-
dría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si
ahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:
x5 + (1 − i)x4 + (1/5 − i √2)x2 − 8x + 3 − i/ √3 = 0
¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fun-
damental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números
complejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números.
El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popu-
lar la letra “i” que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta
los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el
nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la
Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.
Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles
para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre
que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ése
es el propósito básico de los “métodos de Fourier”. La Transformada de Fourier Discreta,
una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Las
transformadas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual
que otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos.
La función exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los siste-
mas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones
diferenciales lineales.
3.2. Operaciones básicas con números complejos
3.1 Definición. Consideremos en el conjunto R2 las operaciones de adición y producto defini-
das por
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) (3.1)
(x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) (3.2)
Comentarios a la definición de número complejo
Es muy fácil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operacio-
nes así definidas. El elemento neutro de la suma es (0, 0) y (1, 0) es la unidad del producto.
Además, (−x, −y) es el opuesto de (x, y), y todo (x, y) 6= (0, 0) tiene inverso
(x, y) (x/x²+y²)(−y/x²+y²) = (1, 0)
Todas estas propiedades se resumen diciendo que (R2 , +, ·) (léase “el conjunto R2 con las
operaciones de adición y producto”) es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simbólicamente
por C y sus elementos se llaman números complejos.
Comentarios a la definición de número complejo
No debes olvidar que cada concepto matemático tiene sentido dentro de una determinada
estructura. Con frecuencia, cuando sobre un mismo conjunto hay definidas varias estructuras, la terminología que se usa indica la estructura a la que nos referimos. Eso pasa en R2 donde conviven varias estructuras cada una con su terminología propia. Usualmente en R2 se consideran las siguientes estructuras.
• Ninguna. Es decir, solamente consideramos que R² es un conjunto. En tal caso llamamos
a sus elementos pares ordenados de números reales.
• La estructura de espacio vectorial. Esto es, vemos R² como un espacio vectorial real. En
tal caso a sus elementos los llamamos vectores.
• La estructura de espacio euclídeo que se obtiene añadiendo a la estructura de espacio
vectorial la distancia euclídea definida por el producto escalar usual. Esto es, vemos
R² como el plano euclídeo de la geometría elemental. En este caso a sus elementos
los llamamos puntos. La misma terminología se emplea cuando se considera en R² la
estructura de espacio afín o de espacio topológico.
• La estructura de cuerpo definida por las operaciones (3.1) y (3.2). En tal caso, a los
elementos de R² se les llama números complejos.
Ocurre que estos términos se usan a veces en un mismo párrafo lo que puede resultar confuso.
La regla que debes tener siempre presente es que todo concepto matemático tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemática. Por ello, a un elemento de R² se le llama número complejo cuando se va a usar el producto definido en (3.2) que es lo que en realidad distingue a los números complejos de los vectores de R² .
Forma cartesiana de un número complejo
El símbolo usual (x, y) para representar pares ordenados no es conveniente para represen-
tar el número complejo (x, y). Para convencerte calcula, usando la definición (3.2), (1, −1)4 .
Representaremos los números complejos con un simbolismo más apropiado en el que va a
intervenir el producto complejo. Para ello, observa que:
(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0)
(x, 0)(y, 0) = (xy, 0)
Comentarios a la definición usual i =√−1
Esto indica que los números complejos de la forma (x, 0) se comportan respecto a la suma
y la multiplicación de números complejos exactamente de la misma forma que lo hacen los
números reales respecto a la suma y multiplicación propias. En términos más precisos, R × {0}
es un subcuerpo de C isomorfo a R. Por esta razón, en las operaciones con números complejos
podemos sustituir los complejos del tipo (x, 0) por el número real x. Es decir, hacemos la
identificación (x, 0) = x.
Fíjate que con dicha identificación el producto x(u, v) tiene dos posibles interpretaciones:
producto del escalar real x por el vector (u, v) (estructura vectorial de R² ) y producto del
complejo (x, 0) por el complejo (u, v). Pero ambos coinciden y son iguales a (xu, xv).
El número complejo (0, 1) lo representaremos por i y lo llamaremos unidad imaginaria.
Con ello tenemos que
i² = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1
Ahora podemos escribir
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy
Se dice que x + iy es la expresión cartesiana (también se le llama expresión binómica) del
número complejo (x, y). El producto ahora es muy fácil de recordar pues
(x + iy)(u + iv) = xu + i² yv + i(xv + yu) = xu − yv + i(xv + yu)
3.2 Definición. Se dice que x es la parte real e y es la parte imaginaria del número complejo
x + iy.
Naturalmente, dos números complejos son iguales cuando tienen igual parte real e igual
parte imaginaria.
Notación. Es costumbre representar los números complejos con las letras z y w y reservar las
letras x, y, u, v para representar números reales. Una expresión de la forma z = x + iy se
interpreta como que z es el número complejo cuya parte real es x y cuya parte imaginaria es y.
Se escribe Re(z) e Im(z) para representar las partes real e imaginaria de z.
Comentarios a la definición usual i =√−1
Acabamos de ver que i² = −1 pero eso no
√
√nos permite escribir así, sin más ni más, que
i = −1. Fíjate lo que ocurre si ponemos i = −1 y manejamos ese símbolo con las reglas a
las que estamos acostumbrados:
p
√
√ √
−1 = i2 = i i = −1 −1 = (−1)(−1) = 1 = 1
Luego 1 = −1. Por tanto, las matemáticas son contradictorias y aquí hemos acabado.
Naturalmente,
el error procede de que estamos haciendo disparates. Fíjate que en la ex-
√
presión −1 no puedes interpretar que −1 es el número real −1 (porque, como sabes, los
números reales negativos no tienen raíz cuadrada real), sino que tienes que interpretar −1 co-
mo el número complejo −1 (espero que ya tengas clara la diferencia). Resulta así que estamos
usando raíces de números complejos sin haberlas definido y dando por supuesto que dichas
raíces verifican las mismas propiedades que las de los números reales positivos.