Embedded Files
¿Qué es el número de Euler (e)?
El término número de Euler (e) se refiere a una expresión matemática para la base del logaritmo natural. Esto está representado por un número que no se repite y que nunca termina. Los primeros dígitos del número de Euler son 2,71828. El número generalmente se representa con la letra e y se usa comúnmente en problemas relacionados con el crecimiento o la disminución exponencial. También puedes interpretar el número de Euler como la base de una función exponencial cuyo valor es siempre igual a su derivada. En otras palabras, e es el único número posible tal que ex aumenta a razón de ex para cada posible x.
CONCLUSIONES CLAVE
El número de Euler es una constante importante que se encuentra en muchos contextos y es la base de los logaritmos naturales.
Un número irracional representado por la letra e, el número de Euler es 2.71828..., donde los dígitos continúan para siempre en una serie que nunca termina ni se repite (similar a pi).
El número de Euler se usa en todo, desde explicar el crecimiento exponencial hasta la descomposición radiactiva.
En finanzas, el número de Euler se usa para calcular cómo puede crecer la riqueza debido al interés compuesto.
No confundas el número de Euler con la constante de Euler, que es otro número irracional y no terminador que comienza con 0,57721.
Comprender el número de Euler (e)
Como se señaló anteriormente, el número de Euler se usa para expresar la base del logaritmo natural. E es una serie de números que comienzan con 2.71828. Al igual que pi, no termina, lo que significa que sigue y sigue. También es un número irracional, lo que significa que no se puede expresar como una fracción. Puede usarlo para calcular la disminución o el crecimiento de un factor en particular a lo largo del tiempo, como el interés compuesto.
Imagine prestar dinero a una tasa de interés del 100 %, compuesta cada año. Después de un año, su dinero se duplicaría. Pero, ¿y si la tasa de interés se redujera a la mitad y se capitalizara con el doble de frecuencia? Al 50% cada seis meses, su dinero crecería un 225% en un año.
A medida que el intervalo se hace más pequeño, los rendimientos totales aumentan ligeramente. Si el interés se calcula n veces al año, a una tasa del 100%/n, la riqueza acumulada total al final del primer año sería ligeramente superior a 2,7 veces la inversión inicial si n es suficientemente grande.
Historia del número de Euler (e)
Aunque comúnmente asociado y nombrado en honor al matemático suizo Leonhard Euler, fue descubierto por primera vez en 1683 por el matemático Jacob Bernoulli. Estaba tratando de determinar cómo crecería la riqueza si el interés se capitalizara más a menudo, en lugar de anualmente.
El trabajo más fundamental en torno al número no se realizó hasta varias décadas después, por Leonhard Euler. En su libro Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Euler demostró que se trataba de un número irracional, cuyos dígitos nunca se repetirían. También demostró que el número se puede representar como una suma infinita de factoriales inversos:
Euler usó la letra e para exponentes, pero ahora la letra está ampliamente asociada con su nombre. Se usa comúnmente en una amplia gama de aplicaciones, incluido el crecimiento de la población de organismos vivos y la descomposición radiactiva de elementos pesados como el uranio por parte de los científicos nucleares. También se puede utilizar en trigonometría, probabilidad y otras áreas de las matemáticas aplicadas.
El número de Euler (e) no debe confundirse con la constante de Euler, que se denota con la gamma minúscula (γ). También conocida como la constante de Euler-Mascheroni, esta última está relacionada con la serie armónica y tiene un valor de aproximadamente 0,57721....
Número de Euler (e) en finanzas: interés compuesto
El interés compuesto ha sido aclamado como un milagro de las finanzas, mediante el cual se acreditan intereses no solo sobre las cantidades iniciales invertidas o depositadas, sino también sobre los intereses recibidos anteriormente. El interés compuesto continuo se logra cuando el interés se reinvierte en una unidad de tiempo infinitamente pequeña. Si bien esto es prácticamente imposible en el mundo real, este concepto es crucial para comprender el comportamiento de muchos tipos diferentes de instrumentos financieros, desde bonos hasta contratos de derivados.
El interés compuesto de esta manera es similar al crecimiento exponencial y se expresa mediante la siguiente fórmula:
dónde:
FV=Valor futuro
PV=Valor actual del saldo o suma
e = constante de Euler
r = Tasa de interés compuesta
t=Tiempo en años
Por lo tanto, si tuviera $1,000 pagando 2% de interés con capitalización continua, después de tres años tendría:
Tenga en cuenta que esta cantidad es mayor que si el período de capitalización fuera un período discreto, por ejemplo, mensualmente. En este caso, la cantidad de interés se calcularía de manera diferente: FV = PV(1+r/n)nt, donde n es el número de períodos de capitalización en un año (en este caso, 12):
Aquí, la diferencia es solo una cuestión de unos pocos centavos, pero a medida que nuestras sumas aumentan, las tasas de interés aumentan y la cantidad de tiempo se prolonga, la capitalización continua usando la constante de Euler se vuelve cada vez más valiosa en relación con la capitalización discreta.
¿Por qué es importante el número de Euler?
El número de Euler aparece con frecuencia en problemas relacionados con el crecimiento o la disminución, donde la tasa de cambio está determinada por el valor actual del número que se mide. Un ejemplo es en biología, donde se espera que las poblaciones bacterianas se dupliquen a intervalos confiables. Otro caso es la datación radiométrica, donde se espera que la cantidad de átomos radiactivos disminuya durante la vida media fija del elemento que se mide.
¿Cómo se usa el número de Euler en finanzas?
El número de Euler aparece en problemas relacionados con el interés compuesto. Siempre que una inversión ofrezca una tasa de interés fija durante un período de tiempo, el valor futuro de esa inversión se puede calcular fácilmente en términos de e.
¿Cuál es el número de Euler exactamente?
En pocas palabras, el número de Euler es la base de una función exponencial cuya tasa de crecimiento siempre es proporcional a su valor actual. La función exponencial ex siempre crece a una tasa de ex, una característica que no es cierta para otras bases y que simplifica enormemente el álgebra que rodea a los exponentes y logaritmos. Este número es irracional, con un valor de aproximadamente 2.71828....
La línea de fondo
El número de Euler es una de las constantes más importantes en matemáticas. Aparece con frecuencia en problemas relacionados con el crecimiento o la disminución exponencial, donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población existente. En finanzas, e también se usa en cálculos de interés compuesto, donde la riqueza crece a una tasa establecida con el tiempo.
Page updated
Google Sites
Report abuse