MATEMÁTICA

atividade 1

PROGRESSÃO GEOMETRICA (PG)

Observe a sequência de números abaixo:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

É possível observar que existe um padrão. Cada número, com exceção do primeiro, é sempre o dobro do anterior.

Da mesma forma, poderíamos ter apresentado uma sequência onde cada número é o triplo, quádruplo ou quíntuplo do anterior.

Qualquer sequência com esse atributo é chamada de Progressão Geométrica (PG).

DEFINIÇÃO

Podemos definir Progressão Geométrica (PG), como uma sucessão de números reais não nulos, obtida multiplicando o número anterior por um valor fixo, onde esse valor é chamado de razão representado pela letra q.

Vejamos alguns exemplos de PG:

Exemplo 1:

1, 2, 4, 8, 16, … (q = 2)

Exemplo 2:

2, 20, 200, 2000, … (q = 10)

Exemplo 3:

2, 2, 2, 2, … (q = 1)

Exemplo 4:

1, -1, 1, -1, … (q = -1)

TERMO GERAL DA PG

Assim como em uma PA, conhecendo o primeiro termo (a₁) e a razão (q) da PG, é possível descobrir qualquer elemento da sequência.

Veja a fórmula:

Exemplo

Calcular o 10º termo da sequência (5, 10, 20, 40,…)

Temos que a₁ = 5, n = 10 e q = 2.

Utilizando a fórmula do termo geral:

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DA PG

A soma dos termos de uma P.G. finita pode ser facilmente calculada conhecendo o primeiro termo, a quantidade de termos e a razão.

Veja a fórmula:

Obs: A fórmula não é valida para q = 1 para evitarmos divisão por zero.

Exemplo

Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,…):

Nota-se que o primeiro termo é 1, a razão é 2 e a quantidade de termos é 10.

Utilizando a fórmula:

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

Vejamos o exemplo abaixo de uma Progressão Geométrica com infinitos termos:

Nota-se que o termo da PG está ficando cada vez menor, isto acontece porque a razão da PG é 1/2.

Sempre que a razão é um número real entre -1 e 1, a tendência é que a PG se aproxime cada vez mais de zero.

A soma dos termos de uma PG infinita pode ser calculada através da fórmula abaixo, desde que -1<q<1.

Vamos utilizar a fórmula para somar todos os termos da PG infinita citada acima:

Temos que a₁ = 1 e q = 1/2

Utilizando a fórmula:

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

EXERCÍCIOS

1 - Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, …).

2 - Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320.Qual é a soma dos oito primeiros termos?

3 - Com base na seguinte progressão geométrica: {2; 4; 8; 16; 32; 64;… } qual seria o próximo valor da sequência?

4 - Uma sequência numérica orientada sob forma de multiplicação é composta por 6 elementos onde o primeiro destes é 5 e a sua razão é 4. Determine o último termo desta sequência.

5. Determine o 12ª elemento de uma progressão geométrica onde o primeiro elemento é 1 e a razão é

6 - Determine o primeiro elemento de uma P.G. com 6 elementos onde a razão é 3 e o último termo 1701

7 - Determine o primeiro elemento de uma P.G. com 8 elementos onde o último termo é 512 e a razão é 2

8 – Qual é a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584).

9 - Determine a soma dos termos da PG infinita

10 - Qual é a soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) ?

TRABALHO PARA ENTREGAR

Tema :Geometria analítica principais teorema e aximos

Breve relato sobre matemática Euclides iniciador da geometria

ATIVIDADE 2

EXERCICIO:

1 - Baseado na aula anterior, faça as seguintes conversões: ângulo em radiano

A)30º

B)45º

C)60º

D)90º

E)120º

F)145º

G)180º

H)185º

I)195º

J)205º