IL PERIMETRO E L'AREA

Date 2 figure piane, in generale non è possibile stabilire chi sia "più grande", poiché la grandezza non è una caratteristica dei poligoni. Si possono considerare, però, 2 altre caratteristiche misurabili in base alle quali confrontare i poligoni: il perimetro e l'area.

Il calcolo del perimetro di un poligono (concavo o convesso che sia) è, come si intuisce, piuttosto immediato: occorre e basta sommare le lunghezze dei lati del poligono, non dipende cioè dagli angoli che i lati consecutivi formano fra loro.

Invece l'area di un poligono dipende dalla relazione fra i suoi lati, cioè dalla forma esatta che esso ha. 

Per alcuni poligoni è piuttosto semplice calcolare l'area (triangoli, quadrilateri convessi, poligoni regolari e cerchi); per altri basta scomporli nei precedenti e applicare il principio dell'equiscomposizione; per altri ancora, invece, occorre fare appello a conoscenze superiori di trigonometria e analisi matematica.

Se i vertici di un poligono sono punti di un reticolo (cioè hanno coordinate intere nel piano cartesiano), allora è possibile calcolarne l'area contando il numero di punti del reticolo interni al poligono (che indicheremo con la lettera i) e quello dei punti del reticolo che appartengono al contorno del poligono (che indicheremo con la lettera p). Infatti, basterà applicare una equazione universale, non specifica cioè del singolo poligono, che mette in relazione i e p, espressa dal teorema di Pick, dal nome del matematico austriaco Georg Alexander PICK (1859-1942) che la scoprì nel 1899:

TEOREMA DI PICK: l'area di un poligono i cui vertici sono punti di un reticolo è espressa dalla formula:

i + (p/2) - 1

Esempio: calcoliamo l'area di questo bellissimo albero di Natale, considerando il poligono dal contorno bianco e come unità di misura la minima distanza fra 2 punti del reticolo.

Contiamo i punti del reticolo che sono interni al poligono (evidenziati in giallo), per determinare i e i punti del reticolo che sono sul contorno del poligono (e videnziati in rosso), per determinare p.

Applichiamo la formula:  A = 16 + 38/2 -1 = 16 + 19 - 1 = 34

Certamente avremmo potuto scomporre il poligono in triangoli e quadrati di cui calcolare singolarmente l'area per poi sommarle, ma è infinitamente più semplice ed elegante l'applicazione della formula. 

E, in matematica, la semplicità premia!