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Come possiamo valutare la "grandezza" di una figura piana?
Date 2 figure piane, in generale non è possibile stabilire chi sia "più grande", poiché la grandezza non è una caratteristica dei poligoni. Si possono considerare, però, 2 altre caratteristiche misurabili in base alle quali confrontare i poligoni: il perimetro e l'area.
Quindi:
perimetro e area sono numeri (non sono enti geometrici);
perimetro e area sono propri di tutte le figure geometriche piane (non solo dei poligoni).
Hai capito bene? Il perimetro NON è il contorno, ma la lunghezza del contorno!
Nel caso dei poligoni, cioè di regioni del piano delimitate da una sola linea spezzata chiusa semplice, la definizione può essere personalizzata con quella operativa, cioè con il procedimento utile per calcolarla:
Il calcolo del perimetro di un poligono (concavo o convesso che sia) è, come si intuisce, piuttosto immediato: occorre e basta sommare le lunghezze dei lati del poligono, cioè non dipende dagli angoli che i lati consecutivi formano fra loro.
Invece l'area di un poligono dipende dalla relazione fra i suoi lati, cioè dalla forma esatta che esso ha.
Potrebbe sembrarti ovvio, ma prima di calcolare perimetri e aree, ricordati di controllare che i lati siano tutti espressi nella stessa unità di misura, ok? Ora vediamo come determinare le aree...
Per alcune figure elementari (triangoli, quadrilateri convessi, poligoni regolari, cerchi ed ellissi) è piuttosto immediato calcolare l'area grazie alle relazioni note fra i loro elementi: basta sostituire nelle equazioni che le esprimono i dati, cioè applicare le formule.
Per altre figure piane, si può dedurre l'area scomponendole nelle precedenti e sommandone le aree oppure applicando altre strategie (per esempio: per differenza con il metodo "stencil").
tratto da researchGate.net
Per calcolare l'area di figure mistilinee (cioè figure con il contorno formato da segmenti e tratti curvilinei), invece, occorre fare appello a conoscenze superiori di trigonometria, geometria analitica e analisi matematica, se non è possibile applicare altre strategie elementari.
Infine, per altre il cui contorno sia particolarmente frastagliato (come quello delle coste della nostra penisola, per esempio) non basta nemmeno questo: bisogna scomodare anche la geometria frattale. Il procedimento non è immediato, ma si può semplificare così:
si sovrappone alla figura una serie di griglie quadrate con lati via via sempre più piccoli, come una griglia di pixel;
si calcola quanto il bordo è frastagliato;
grazie all'analisi, si deduce l'area dei quadratini del contorno;
infine, a quest'ultima si somma l'area dei quadratini interni, ottenendo così l'area totale della figura.
Riepilogando, a salire, per livello di conoscenze richieste:
formule + equiscomposizione + trigonometria, geometria analitica, analisi + geometria frattale
Naturalmente, a scendere, ogni metodo può essere applicato anche a richieste di complessità inferiore. Per esempio, si può determinare l'area di un rombo scomponendolo in 4 triangoli rettangoli e calcolandone il quadruplo dell'area, anziché applicare la formula diretta oppure inserendolo in un sistema di assi cartesiani e calcolando l'area ricorrendo agli integrali, funzioni proprie dell'analisi matematica che servono proprio a questo... ma è certamente consigliabile applicare la formula. Infatti, non c'è quasi mai una sola strada (questo è il bello della matematica!), ma ce n'è spesso una preferibile perché più elegante: quella più breve e diretta.
Del resto chi metterebbe gli scarponi da montagna per passeggiare in centro, magari d'estate, anche se certamente permettono di camminare anche sull'asfalto pianeggiante cittadino? W la semplicità! E tu ora stai scoprendo gli strumenti di base, proprio quelli che spesso regalano le piste risolutive più brevi ed eleganti...
MATHLAB Allenati a distinguere perimetro e aree con questo laboratorio Phet Colorado:
Ora che hai preso confidenza con l'area dei polimini, divertiti con questa altra applicazione! Ma soltanto per i polimini è così davvero sorprendentemente facile calcolare l'area?
Se i vertici di un poligono sono punti di un reticolo (cioè hanno coordinate intere nel piano cartesiano), allora è possibile calcolarne l'area in modo immediato: contando il numero di punti del reticolo interni al poligono (che indicheremo con la lettera i) e quello dei punti del reticolo che appartengono al contorno del poligono (che indicheremo con la lettera p). Infatti, basterà applicare una equazione universale, non specifica cioè del singolo poligono, che mette in relazione i e p, espressa dal teorema di Pick, dal nome del matematico austriaco Georg Alexander PICK (1859-1942) che la scoprì nel 1899*:
TEOREMA DI PICK: l'area di un poligono i cui vertici sono punti di un reticolo è espressa dalla formula:
i + (p/2) - 1
* il teorema fu pubblicato nell'articolo di Pick: “Geometrisches zur Zahlenlehre (Aspetti Geometrici della teoria dei numeri)”, sulla rivista di scienze naturali "Sitzungber. Lotos, Naturwissen Zeitschrift", Praga, Volume 19 (1899), pagine 311-319.
Esempio: calcoliamo l'area di questo bellissimo albero di Natale, considerando il poligono dal contorno bianco e come unità di misura la minima distanza fra 2 punti del reticolo.
Ricordi il piano cartesiano o anche, più semplicemente, la GeoBoard? Ecco: usala per costruire questo poligono concavo...
Contiamo i punti del reticolo che sono interni al poligono (evidenziati in giallo), per determinare i e i punti del reticolo che sono sul contorno del poligono (e videnziati in rosso), per determinare p.
i = 16
p = 38
Applichiamo la formula: A = 16 + 38/2 -1 = 16 + 19 - 1 = 34
Certamente avremmo potuto scomporre il poligono in triangoli e quadrati di cui calcolare singolarmente l'area per poi sommarle, ma è infinitamente più semplice ed elegante l'applicazione della formula.
E, in matematica, la semplicità premia!
Quasi incredibile, vero? Ma attenzione: vale solo per poligoni i cui vertici siano tutti punti del reticolo, cioè a coordinate intere!
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