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Da sempre, il cerchio è stato associato a concetti di perfezione ed eternità, a causa della sua forma: è ciò a cui i poligoni "tendono" senza mai arrivare a esserlo nel finito, perché il cerchio NON ha né lati né vertici!
Ora prova a definirlo e a distinguerlo dalla circonferenza...
Vero, ma si tratta di definizioni che dipendono l'una dall'altra. Si può fare di meglio? Consideriamo i punti del piano che caratterizzano cerchio e circonferenza!
Si definisce luogo geometrico dei punti del piano l'insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà.
Quindi la circonferenza è una parte del cerchio: tutti i punti della circonferenza appartengono anche al cerchio!
Come il 3° postulato di Euclide ci assicura e le definizioni appena date confermano, bastano un punto e un raggio per identificare con certezza un cerchio in particolare.
Ci sono altre parti notevoli del cerchio:
Ricorda: per comprendere il senso di una definizione geometrica, prima disegna e poi riconosci nel disegno quegli elementi "irrinunciabili", cioè quelli senza i quali non puoi disegnare ciò che stai definendo.
PLAYMATH Sfida i tuoi compagni a colpi di... definizioni!
Ora prova a chiederti: come si misura la lunghezza della circonferenza? E l'area di un cerchio?
Egizi e Babilonesi avevano già calcolato dei valori approssimati del rapporto tra circonferenza e diametro, ma fu il grande matematico greco ARCHIMEDE di Siracusa (III secolo a.C.) a dare il contributo più significativo. Usando il metodo di esaustione (cioè inscrivendo e circoscrivendo poligoni regolari con un numero crescente di lati), egli riconobbe nel π l'invariante del cerchio, cioè il numero irrazionale che caratterizza ogni cerchio, e per primo ne approssimò il valore.
Per misurare la lunghezza della circonferenza, si può immaginare di rettificarla, cioè di srotolarla in modo da trasformarla da curvilinea a rettilinea, mantenendone invariata la misura della lunghezza.
Pi greco è un numero irrazionale che hai già conosciuto, ricordi? Proprio lui - pi greco! - è caratteristico del cerchio! Per cominciare, è il valore del rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il diametro: di QUALSIASI cerchio. Il diametro è, cioè, contenuto "pi greco volte" nella circonferenza, come hai visto nell'animazione.
Pi greco: è proprio il segreto del cerchio sia per il perimetro sia per l'area!
Hai visto le 3 dimostrazioni dell'area? In tutti i 3 casi, si itera il procedimento, aumentando all'infinito il numero di sezioni del cerchio o il numero dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti: questo è il punto cruciale. Eccone qui una animata...
... e come si misurano le ampiezze di angoli al centro, le lunghezze degli archi e l'area di settori circolari?
Ogni angolo al centro insiste su un arco e delimita un settore circolare, cioè una parte dell'intero angolo giro (l'angolo al centro) determina una parte dell'intera circonferenza (l'arco) e una parte dell'intero cerchio (il settore).
Si può osservare una bellissima relazione: il rapporto fra tale parte e il tutto di cui è parte è lo stesso per angolo al centro, arco da esso sotteso e settore da esso delimitato.
ICONMATH
Quindi, conosciuta una delle 3 parti di cui sopra e il tutto (circonferenza o cerchio, come dato diretto o deducibile dal raggio dato), si possono determinare le altre. Precisamente:
In notazione matematica:
Sta a te determinare, di volta in volta, la proporzione utile!
Ti ho svelato davvero molte cose del cerchio, ma ora tocca a te...
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