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Un’espressione è un enunciato espresso in forma simbolica, completo di predicato o incompleto (ad esempio, ogni numero è considerabile come un'espressione).
Un'uguaglianza è un enunciato in cui è presente il predicato = che esprime l'equivalenza fra l'espressione di sinistra, detta 1° membro, e l'espressione di destra, detta 2° membro.
Intuisci che cosa significhi tutto questo? Il secondo membro non è soltanto il "risultato" di un'operazione, è molto più di questo...
MATHLAB Segui il percorso laboratoriale che ti è offerto in queste pagine:
(tratto da "Numb3rs" di Gianfranco Bo - Laboratorio ideato da Federico Oliva e Silvia Tripodina)
Quindi, in matematica, il simbolo = non significa che i due membri dell'uguaglianza siano identici, bensì che hanno lo stesso valore (es.: 3+4 e 1+6 non sono identiche, ma sono uguali perché queste due espressioni hanno lo stesso valore).
Non perderci la testa, eh? Seguimi e ti mostrerò 3 belle caratteristiche dell'uguale che lo rendono davvero importante!
L'uguaglianza è riflessiva: A = A, per qualunque A. Altrimenti detto: ogni ente è equivalente a se stesso, cioè, se i membri dell'uguaglianza sono identici, è vera.
Forse questo ti sembrerà banale... ma non lo è! Ad esempio, la disuguaglianza stretta non è riflessiva: l'enunciato 3 < 3 è falso!
L'uguaglianza è anche simmetrica: i 2 membri sono interscambiabili, cioè si possono invertire, poiché sono equivalenti. Quindi ogni uguaglianza può essere letta da sinistra come da destra, cioè se si invertono i membri l'uguaglianza resta vera.
Ad esempio:
3 + 5 = 1 + 7 può essere scritta anche così: 1 + 7 = 3 + 5, cioè può essere letta nei 2 versi.
Forse anche questo ti sembrerà ovvio... ma non lo è! Ad esempio, la disuguaglianza non è simmetrica: l'enunciato 3 < 5 è vero, mentre 5 < 3 è falso!
L'uguaglianza è anche transitiva: se A = B e B = C, allora A = C (cioè gli estremi di una catena di uguaglianze sono equivalenti, poiché l'essere uguale "transita" da un termine all'altro della catena).
Neanche questo è evidente! Per esempio, vale anche per la disuguaglianza (se A<B<C, allora A<C), ma non per la non uguaglianza che, perciò, non è transitiva: infatti 3 ≠ 4 ≠ 3 non implica affatto che 3 ≠ 3... sei d'accordo?
L'uguaglianza è una relazione di equivalenza, poiché è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Quindi, in un'uguaglianza i 2 membri sono equivalenti: hanno, infatti, lo stesso valore.
Inoltre, l'uguaglianza si conserva se si opera su entrambi i membri nello stesso modo: l'uguaglianza ottenuta non sarà la stessa di partenza, ma sarà ancora un'uguaglianza vera (se lo era quella di partenza).
QUINDI RICORDA: in matematica uguaglianza significa equivalenza!
Non puoi, quindi, seguire il flusso del tuo pensiero quando esegui a mente i calcoli per ridurre un'espressione, come il MathLab ti ha insegnato. E, per fartene una ragione, una volta di più, guarda anche questo video di CampMate che ti mette in guardia da questo e poi - ma solo dopo averlo visto davvero, eh? - potrai affrontare la tua prossima missione!
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