Embedded Files
I "tan" del Tangram non alimentano solamente la creatività artistica sulla base dell'equivalenza geometrica: poiché si compongono in un quadrato (quello canonico in cui normalmente sono disposti), formano quello che anche in matematica è detto "puzzle"...
In matematica i puzzle sono sfide avvincenti che si fondano sull'equivalenza fra figure geometriche: comporre un puzzle in una forma predefinita significa individuare almeno una fra le disposizioni possibili delle tessere che la compongono.
Sono, perciò, rompicapi accattivanti dal punto di vista ludico, ma anche strategici per la didattica e l'apprendimento della matematica, perché, oltre a sollecitare il problem solving e la visualizzazione spaziale, si prestano alla manipolazione diretta di concetti importanti e di ambiti molto diversi fra loro, fra cui:
tassellazioni geometriche del piano;
deduzione di aree e perimetri;
equivalenza di poligoni attraverso l'equiscomposizione;
operazioni aritmetiche con le frazioni;
dimostrazioni visuali/grafiche di serie;
combinatoria
... combinatoria? Sì: ci si può chiedere in quanti modi si possa scomporre e ricomporre uno stesso poligono, cioè quante disposizioni diverse esso ammetta per essere ricomposto utilizzando tutte e sole le tessere di partenza.
Per esempio, chiedo a te: in quanti modi si può ricomporre il quadrato iniziale del Tangram? Ci sono altre disposizioni oltre a quella canonica in cui i "tan" sono inizialmente disposti?
MATHLAB Prova a comporre il quadrato in modi diversi: che cosa noti?
Se non si considerano le isometrie (simmetrie, rotazioni e ribaltamenti) e gli scambi fra "tan" congruenti, c'è un solo modo per ricomporli nel quadrato grande.
... ma dimostrarlo non è affatto banale! Proviamoci...
Consideriamo i 2 triangoli grandi: l'ipotenusa di ciascuno di essi è lunga quanto la diagonale del quadrato. L'unico modo per coprire i lati maggiori o le diagonali esterne senza violare le proporzioni è posizionarli in modo da occupare 2 angoli opposti o una metà del quadrato.
Consideriamo ora il triangolo medio e il quadratino: il quadratino deve trovare posto nelle zone interne, mentre il triangolo medio è vincolato a occupare un altro vertice o una posizione strategica di raccordo lungo i bordi liberi lasciati dai triangoli maggiori.
Consideriamo, infine, i triangoli piccoli e il parallelogramma: i 2 triangoli piccoli richiedono ipotenuse allineate ai bordi interni e il parallelogramma ha una sola configurazione speculare compatibile per colmare lo spazio residuo esatto rimasto al centro della figura.
Vuoi conoscere un altro puzzle famoso che, a differenza del tangram, ammette diversi modi per comporre il quadrato?
ARCHIMEDE di Siracusa (III secolo a.C.) descrive in un suo trattato un rompicapo, lo stomàchion (dal greco "στομάχιον" = irritante), probabilmente per studiarne le proprietà (non è chiaro se ne sia anche l'ideatore).
Lo stomàchion è un puzzle quadrato, scomposto in 14 tessere poligonali di 12 tipi diversi (2 si ripetono), enumerate ed evidenziate dai singoli colori qui a lato: 11 triangoli, 2 quadrilateri e 1 pentagono. Essi possono essere ricomposti in modo creativo a formare diverse figure equivalenti oppure... a ricomporre il quadrato di partenza! Infatti, a differenza del Tangram, lo stomàchion ammette più di una composizione.
MATHLAB Prova a comporre il quadrato in modi diversi, utilizzando tutte e sole le 14 tessere dello stomàchion, utilizzando Geogebra:
Quante sono le composizioni possibili per formare il quadrato?
Nel 2003 Bill Cutler ha prodotto tutte le 536 composizioni possibili (a meno di isometrie e scambio di tessere congruenti), esaminabili singolarmente sul sito Wolfram e qui elencate:
(in giallo è evidenziata quella canonica con cui lo Stomàchion è presentato).
Quali sono le tessere equivalenti?
MATHLAB Segui le indicazioni:
1. disegna lo stomàchion sul quaderno, tracciando un quadrato di 12 x 12 quadretti e suddividendolo nelle 14 tessere, come nel seguente schema:
2. considerata come unità di misura il lato del quadretto, calcola l'area di ogni tessera, utilizzando il metodo che preferisci (teorema di Pick incluso) e indicala all'interno del singolo poligono;
3. deduci quali siano le tessere fra loro equivalenti e colorale di uno stesso colore;
4. esprimi in frazione ridotta ai minimi termini il rapporto tra l'area di ogni tessera rispetto all'area del quadrato.
SOLUZIONE
E se i puzzle ti piacciono, puoi divertirti anche con i polimini!
PLAYMATH Gioca a Fidget building, distribuito fisicamente da Action e qui ricostruito in esclusiva per te in forma digitale!
Ricomponi il rettangolo blu a destra, utilizzando tutte e sole le tessere che vedi sulla lavagna in modo da ricoprirlo perfettamente.
SOLUZIONE
Vuoi vederne almeno una? Sappi che non è affatto l'unica...
Page updated
Google Sites
Report abuse