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I "tan" del Tangram non alimentano solamente la creatività artistica sulla base dell'equivalenza geometrica: poiché si compongono in un quadrato (quello canonico in cui normalmente sono disposti), formano quello che anche in matematica è detto "puzzle"...
In matematica i puzzle sono sfide avvincenti che si fondano sull'equivalenza fra figure geometriche: comporre un puzzle in una forma predefinita significa individuare almeno una fra le disposizioni possibili delle tessere che la compongono.
PLAYMATH Gioca a Tangram Builder, proposto da Mathigon!
Clicca sull'immagine e ricomponi le figure di volta in volta proposte, utilizzando tutte e sole le tessere del Tangram in modo da ricoprirle esattamente.
I puzzle sono, perciò, rompicapi accattivanti dal punto di vista ludico, ma anche strategici per la didattica e l'apprendimento della matematica, perché, oltre a sollecitare il problem solving e la visualizzazione spaziale, si prestano alla manipolazione diretta di concetti importanti e di ambiti molto diversi fra loro, fra cui:
tassellazioni geometriche;
aree e perimetri;
equivalenza ed equiscomposizione;
calcolo frazionario;
serie;
combinatoria
... combinatoria? Sì: ci si può chiedere in quanti modi si possa scomporre e ricomporre uno stesso poligono, cioè quante disposizioni diverse esso ammetta per essere ricomposto utilizzando tutte e sole le tessere di partenza.
Per esempio, chiedo a te: in quanti modi si può ricomporre il quadrato iniziale del Tangram? Ci sono altre disposizioni oltre a quella canonica in cui i "tan" sono inizialmente disposti?
MATHLAB Prova a comporre il quadrato in modi diversi: che cosa noti?
Se non si considerano le isometrie (simmetrie, rotazioni e ribaltamenti) e gli scambi fra "tan" congruenti, c'è un solo modo per ricomporli nel quadrato grande.
... ma dimostrarlo non è affatto banale! Proviamoci...
Consideriamo i 2 triangoli grandi: l'ipotenusa di ciascuno di essi è lunga quanto la diagonale del quadrato. L'unico modo per posizionarli senza violare le proporzioni è posizionarli in modo da farne coincidere l'ipotenusa con un lato del quadrato.
Consideriamo ora il triangolo medio e il quadratino: il quadratino deve essere posizionato in modo che le diagonali siano parallele ai lati del quadrato, in ragione del rapporto esatto fra il lato del quadrato e tali diagonali; analogamente il triangolo medio è vincolato a occupare un altro vertice o una posizione strategica di raccordo lungo i bordi liberi lasciati dai triangoli maggiori.
Consideriamo, infine, i triangoli piccoli e il parallelogramma: i 2 triangoli piccoli hanno l'ipotenusa che divide esattamente il lato del quadrato; Io spazio residuo centrale ne obbliga il posizionamento in posizioni simmetriche fisse. Il parallelogramma trova un unico incastro possibile per completare la tassellatura senza sovrapposizioni.
Ti presento ora un altro puzzle, tanto famoso quanto storico, conosciuto anche con il nome di "Scatola di Archimede": se è stato capace di intrigare persino un genio come lui, deve essere davvero un puzzle speciale, non credi?
ARCHIMEDE di Siracusa (III secolo a.C.) descrive in un suo trattato un rompicapo, lo Stomàchion (dal greco "στομάχιον" = irritante), probabilmente per studiarne le proprietà (non è chiaro se ne sia anche l'ideatore).
Come il Tangram, anche lo Stomàchion è un puzzle quadrato. Esso è scomposto in 14 tessere poligonali di 12 tipi diversi (2 si ripetono), qui enumerati ed evidenziati dai singoli colori:
11 triangoli, 2 quadrilateri e 1 pentagono che possono essere disposti in modo creativo a formare figure equivalenti o a ricomporre il quadrato di partenza.
Prima di andare avanti, familiarizziamo un po' con lo Stomàchion: quali sono le tessere equivalenti?
MATHLAB Segui le indicazioni:
1. disegna lo Stomàchion sul quaderno, tracciando un quadrato di 12 x 12 quadretti e suddividendolo nelle 14 tessere, come nel seguente schema:
2. considerata come unità di misura il lato del quadretto, calcola l'area di ogni tessera, utilizzando il metodo che preferisci (teorema di Pick incluso) e indicala all'interno del singolo poligono;
3. deduci quali siano le tessere fra loro equivalenti e colorale di uno stesso colore;
4. esprimi in frazione ridotta ai minimi termini il rapporto tra l'area di ogni tessera rispetto all'area del quadrato.
SOLUZIONE
Come il Tangram, anche le aree delle tessere dello Stomàchion sono frazioni esatte dell'area del quadrato in cui si compongono, anche se non unitarie.
C'è però una grande differenza fra lo Stomàchion e il Tangram: prova a dedurla grazie all'attività che sto per proporti!
MATHLAB Prova a comporre il quadrato in modi diversi, utilizzando tutte e sole le 14 tessere dello stomàchion, utilizzando Geogebra o l'app online sottostante:
A differenza del Tangram, lo Stomàchion ammette più di una composizione.
Non è una cosa da poco! Non ti chiedo certo di calcolarle, ma riesci a stimare quante siano in tutto le disposizioni possibili per formare il quadrato?
Soltanto in tempi recentissimi, nel 2003, si è ottenuta risposta a questa domanda che ha reso per più di 2 millenni lo Stomàchion degno del nome che porta, dopo che la ricerca sugli scritti di Archimede aveva ridestato un particolare interesse nella comunità matematica: Bill Cutler, professore di matematica di Chicago, creatore di puzzle e programmatore informatico, scrisse un software in grado di scansionare automaticamente tutte le disposizioni. Attinse alle possibilità della geometria combinatorica per produrre tutte le possibili 536 disposizioni uniche (cioè a meno di isometrie e scambio di tessere congruenti), esaminabili singolarmente sul sito Wolfram e qui elencate; poche settimane dopo, un team di professori universitari californiani fornì un quadro teorico che avallò la sua conclusione.
(in giallo è evidenziata quella canonica con cui lo Stomàchion è presentato).
536, tante così con soli 14 pezzo? Lo avresti mai detto? Pensa che diventano tante di più, addirittura 17 152 se si considerano le isometrie e scambi di tessere uguali!
Se si ammettono scambi fra 2 tessere congruenti, allora il numero delle disposizioni raddoppia e, poiché sono 2 le coppie di tessere congruenti, si hanno 536 • 4 = 2 144 disposizioni.
Inoltre, ogni disposizione ammette 4 rotazioni e ciascuna può essere ribaltata: per ogni dispozione unica si ottengono 8 disposizioni isometriche.
Quindi si ottiene: 2 144 • 8 = 17 152 disposizioni in totale.
E se i puzzle ti piacciono, puoi divertirti anche con i polimini!
PLAYMATH Gioca a Fidget building, distribuito fisicamente da Action e qui ricostruito in esclusiva per te in forma digitale!
Ricomponi il rettangolo blu a destra, utilizzando tutte e sole le tessere che vedi sulla lavagna in modo da ricoprirlo perfettamente.
SOLUZIONE
Vuoi vederne almeno una? Sappi che non è affatto l'unica... quante ce ne sono? Questa è una vera sfida!
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