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Finora abbiamo guardato dentro al singolo insieme: hai scoperto la relazione di appartenenza che collega gli elementi all'insieme a cui essi appartengono. Ora allarga il tuo sguardo: quale relazione c'è fra un insieme e l'altro?
Finora abbiamo guardato dentro al singolo insieme: hai scoperto la relazione di appartenenza che collega gli elementi all'insieme a cui essi appartengono. Ora allarga il tuo sguardo: quale relazione c'è fra un insieme e l'altro?
Dato un insieme qualsiasi A, se si raggruppano alcuni suoi elementi a piacere, se ne forma un altro, cioè si ottiene ancora un insieme (che chiameremo, per esempio, B), poiché, una volta scelti, si può distinguere chiaramente cosa appartenga a B e cosa non appartenga a B.
Un tale insieme B è detto sottoinsieme di A.
Ogni sottoinsieme B di A è interamente contenuto in A, cioè tutti gli elementi di J devono appartenere anche a I: allora si dice che B è incluso in A.
L'inclusione è perciò una prima possibilità di relazione fra 2 insiemi: può esserci (o non esserci) fra un insieme e l'altro!
L'inclusione è perciò una prima possibilità di relazione fra 2 insiemi: può esserci (o non esserci) fra un insieme e l'altro!
Esempio:
B è interamente contenuto in A: ogni suo elemento (cioè sia a sia i) è anche elemento di A.
Diciamo perciò che B è incluso in A.
C, invece, NON è interamente contenuto in A: infatti, c'è un suo elemento (g) che NON appartiene ad A.
Diciamo perciò che C NON è incluso in A.
Un sottoinsieme, per esserlo davvero, deve stare "TUTTO DENTRO" all'insieme di cui è sottoinsieme, cioè NON deve... "sbordare"! Inclusione è stare dentro!
Un sottoinsieme, per esserlo davvero, deve stare "TUTTO DENTRO" all'insieme di cui è sottoinsieme, cioè NON deve... "sbordare"! Inclusione è stare dentro!
Fissa bene il concetto e guarda come si scrive questa relazione di inclusione:
Fissa bene il concetto e guarda come si scrive questa relazione di inclusione:
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ATTENZIONE: l'appartenenza è la relazione fra un elemento e l'insieme di cui è parte; l'inclusione è la relazione fra un sottoinsieme e l'insieme in cui è incluso.
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Ora che abbiamo raggruppato alcuni elementi dell'insieme di partenza, ti chiedo: cosa intendiamo con "alcuni"? Quanti e quali elementi possiamo raggruppare in un sottoinsieme?
Ora che abbiamo raggruppato alcuni elementi dell'insieme di partenza, ti chiedo: cosa intendiamo con "alcuni"? Quanti e quali elementi possiamo raggruppare in un sottoinsieme?
Dato un insieme A, qualsiasi raggruppamento dei suoi elementi forma un sottoinsieme.
In particolare, anche quando si raggruppano tutti gli elementi o nessun elemento si ottiene un sottoinsieme; e poiché questo è sempre possibile, allora possiamo dire che ogni insieme ha almeno 2 sottoinsiemi:
se stesso (se raggruppiamo tutti gli elementi);
l'insieme vuoto (se non raggruppiamo nessun elemento).
Questi 2 particolari sottoinsiemi vengono definiti sottoinsiemi impropri dell'insieme perché non frammentano davvero l'insieme di partenza in parti più piccole: al contrario, rappresentano i 2 casi limite, ovvero l'insieme preso nella sua interezza (tutti gli elementi) o nella sua vacuità, cioè privato di tutti i suoi elementi (nessun elemento).
Gli altri vengono detti sottoinsiemi propri dell'insieme perché sono, invece, il risultato di una vera e propria considerazione parziale dell'insieme.
Ecco cosa si intende per raggruppare "alcuni" elementi:
Ecco cosa si intende per raggruppare "alcuni" elementi:
- nessun elemento
- soltanto qualche elemento
- tutti!
Ora: come puoi fare per capire se un insieme è sottoinsieme di un altro? Sposta l'attenzione dal contorno dell'insieme (ovale o parentesi graffe) agli elementi, considerandoli uno per uno, se necessario...
Ora: come puoi fare per capire se un insieme è sottoinsieme di un altro? Sposta l'attenzione dal contorno dell'insieme (ovale o parentesi graffe) agli elementi, considerandoli uno per uno, se necessario...
Per dedurre se un insieme B sia sottoinsieme di un insieme A, occorre e basta verificare che tutti gli elementi di B siano anche elementi di A.
Esempio:
l'insieme delle 5 vocali dell'alfabeto è un sottoinsieme dell'insieme delle lettere dell'alfabeto, poiché ciascuna vocale è anche una lettera dell'alfabeto.
Che bel test! Ora cerca di trasformarlo in definizione: formalizziamo!
Che bel test! Ora cerca di trasformarlo in definizione: formalizziamo!
Un sottoinsieme, poiché è stesso un insieme, ha a sua volta 2 sottinsiemi impropri ed eventuali sottoinsiemi propri che, a loro volta, hanno 2 sottinsiemi impropri ed eventuali sottoinsiemi propri.
... che a loro volta... formano quasi un set di matrioske, questi sottoinsiemi di sottoinsiemi! E chi sta nella matrioska più interna, contenuta in tutte le altre... sta anche in ogni altra! Che cosa ti ricorda?
... che a loro volta... formano quasi un set di matrioske, questi sottoinsiemi di sottoinsiemi! E chi sta nella matrioska più interna, contenuta in tutte le altre... sta anche in ogni altra! Che cosa ti ricorda?
L'inclusione è transitiva: se E è sottoinsieme di F e F è sottoinsieme di G, allora E è sottoinsieme di G.
Le Case sono un ottimo esempio di sottoinsieme dell'insieme di tutti i personaggi di Tripotter! Forse che sia arrivato il momento in cui il Cappello Parlante sta per rivelarti a quale Casa tu sia assegnato?
Le Case sono un ottimo esempio di sottoinsieme dell'insieme di tutti i personaggi di Tripotter! Forse che sia arrivato il momento in cui il Cappello Parlante sta per rivelarti a quale Casa tu sia assegnato?
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