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Ricordi i concetti di area e perimetro? Li riprenderò più avanti, ma forse già sai che se 2 figure hanno lo stesso perimetro, non è detto che abbiano la stessa area.
Allora ha senso chiedersi...
Quale forma piana ha area maggiore a parità di perimetro?
Trasposto nell'ambito della natura: nel delimitare spazi, quale forma è più conveniente, cioè delimita una regione più ampia (area maggiore) a parità di sforzo necessario per delimitarla (uguale perimetro)?
Prova a rifletterci e poi confronta la tua congettura con questo laboratorio:
MATHLAB Clicca sulle frecce per aumentare o diminuire il numero dei lati e osserva come varia l'area del poligono regolare, cioè equilatero (con lati tutti della stessa lunghezza) ed equiangolo (con angoli tutti della stessa ampiezza), senza che vari il perimetro (in questo laboratorio è costante):
Che cosa ne deduci?
Vale quanto segue:
maggiore è il numero di lati di un poligono regolare, a parità di perimetro, maggiore è l'area contenuta.
E se invece, a non cambiare, fosse l'area?
In modo equivalente possiamo dire che:
maggiore è il numero di lati di un poligono regolare, a parità di area, minore è il perimetro.
Questo è esattamente ciò che Cristóbal Vila mostra nel film a fondo pagina, confrontando i perimetri di un triangolo, un quadrato e un esagono equivalenti:
Il triangolo equilatero e il quadrato sono equivalenti (cioè hanno la stessa area) per equiscomposizione; lo stesso quadrato viene poi scomposto in un modo diverso e ricomposto nell'esagono regolare; poiché l'equivalenza è transitiva, tutti i 3 poligoni sono fra loro equivalenti.
Mentre il numero di lati cresce (3 nel triangolo, 4 nel quadrato e 6 nell'esagono), il perimetro decresce, confermando quando appena enunciato.
La prima equiscomposizione è superfamosa: è quella di Dudeney!
MATHLAB Prova ora a condurre un ragionamento analogo con i rettangoli:
quale rettangolo ha la maggiore area a parità di perimetro?
quale rettangolo ha il minor perimetro a parità di area?
E se il numero dei lati aumenta... infinitamente?
Vale quanto segue:
il cerchio contiene l'area maggiore a parità di perimetro.
Altrimenti detto:
il cerchio ha il perimetro minore a parità di area.
Il cerchio è ciò a cui aspirano a essere i poligoni! Ora è chiaro perché! Ma anche il cerchio ha un punto debole...
Ma il cerchio non tassella il piano, cioè non lo ricopre senza lasciare spazi e senza sovrapposizioni.
Qual è, allora, il numero massimo di lati di un poligono regolare per tassellare il piano?
Tassellare è come piastrellare o comporre un puzzle!
C'è un poligono ideale per tassellare il piano, cioè il poligono con il maggior numero di lati fra quelli che tassellano il piano... quale sarà?
Prova a giocare con le forme per scoprirlo:
Sono 3 e soltanto 3 i poligoni regolari che permettono di tassellare il piano infinito, cioè ricoprirlo tutto senza lasciare "buchi" e senza sovrapporle: triangolo, quadrato ed esagono.
... esattamente i 3 amici visti appena sopra:
Ne deduci quale sia, allora, la forma generalmente preferita dalla natura?
Sì, è proprio l'esagono regolare: è lui il poligono capace di ricoprire il piano e di racchiudere la superficie maggiormente estesa a parità di lunghezza del contorno; è la forma più vantaggiosa. W l'esagono!
Vuoi farne esperienza diretta? Segui il MathLab!
MATHLAB Ora tocca a te tassellare! Componi le 14 tessere esagonali in una tassellazione in modo da far corrispondere i colori fra 2 tessere attigue.
Attenzione: usale tutte 1 sola volta, ruotandole se occorre.
Se ti serve un aiuto... guarda la soluzione d'esempio: ma non dimenticare che è solamente una fra le tantissime possibili. Quindi producine una tutta tua!
ESEMPIO
E ora guarda a quali altre meravigliose tassellazioni artistiche (in inglese: pattern) l'esagono dà vita...
Nel video hai potuto ammirare 2 architetture straordinarie come L'Alhambra, il complesso monumentale andaluso a Granada, in Spagna, e la Sainte Chappelle di Parigi, in Francia, oltre alla struttura delle basi azotate del DNA... ma sono soltanto pochi esempi di quell'invisibile armonia geometrica che si nasconde nella nell'arte e nella natura!
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