ENUNCIATI LOGICI

Come nella lingua italiana, anche la lingua matematica è fatta di proposizioni che vengono dette enunciati. Ogni enunciato ha un soggetto (ente matematico che compie o subisce l'azione); generalmente ha anche un predicato che ne descrive l'azione.

Sono esempi di predicati:

∈ (appartenere a)

⊇ (includere)

⊃ (includere strettamente)

⊆ (essere incluso in)

⊂ (essere incluso strettamente in)

= (essere uguale a)

≠ (essere diverso da)

≈ (essere simile a)

≅ (essere congruente a)

∥   (essere parallelo a)

⊥ (essere perpendicolare a)

> (essere strettamente maggiore di) 

≥ (essere maggiore o uguale a)

< (essere strettamente minore di) 

≤ (essere minore o uguale a) 

∃  (esistere)

∃! (esistere uno/a e uno/a solo/a, cioè esistere esattamente uno/a)

⇒ (implicare come conseguenza)

Sono predicati anche le negazioni dei predicati sopra elencati (non appartenere a, non includere, etc.) che si indicano barrando il simbolo corrispondente con  /  , come per esempio: ∉ (non appartenere a).

A differenza di quanto accade nella lingua italiana (e in qualsiasi altra), però, gli enunciati di quella matematica hanno una caratteristica: o sono veri o sono falsi ("forse", dipende" o "a volte" in matematica non esistono!).

Quindi:

1. ogni enunciato matematico è o vero o falso; 

2. inoltre, per essere vero, deve esserlo in tutti i casi che l'enunciato considera, altrimenti è falso.

Per alcuni enunciati, poi, si può dimostrare che non è possibile dedurre se siano veri o falsi (attenzione: pur essendolo): essi vengono detti indecidibili. Non significa che per essi ancora non si sia riusciti a dedurre la loro veridicità (cioè se siano veri o falsi), ma che è dimostrabile il fatto di non poterla dedurre! 

Gli enunciati possono essere riformulati come definizioni oppure come implicazioni, cioè come frasi in cui distinguere un "se..." (ipotesi) che implica necessariamente un "allora" (tesi).

Esempio: 

• l'enunciato: "Un segmento è la parte di un retta delimitata da 2 suoi punti  detti estremi" è una definizione, poiché definisce in modo univoco il segmento;

• l'enunciato: "Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti" contiene una implicazione, può infatti essere riformulato così:

"Se un triangolo è isoscele, allora i suoi angoli alla base sono congruenti".