PRODOTTI NOTEVOLI

Alcuni termini ottenuti, però, possono essere fra loro simili, quindi il polinomio può essere ridotto in forma normale: il numero dei suoi termini, quindi, si riduce. Allora, in certi casi, può essere conveniente conoscerne e applicare direttamente lo sviluppo ridotto piuttosto che applicare l'intero processo (cioè prima applicare la proprietà distributiva e poi ridurre in forma normale).

Alcuni prodotti in cui questo accade sono di particolare rilievo perché il loro sviluppo può essere notevolmente ridotto e perché la loro espressione è talmente semplice da poter essere modello per espressioni letterali più complicate: tali prodotti per questi motivi vengono detti prodotti notevoli.

Questi sono solo alcuni dei prodotti notevoli che solitamente si impiegano nel calcolo letterale.

Trattandosi di uguaglianze, si applicano sia per sviluppare prodotti riconducibili ai prodotti notevoli (quindi passando dal prodotto alla somma algebrica) sia per fattorizzare somme algebriche riconducibili agli sviluppi dei prodotti notevoli (quindi, nella direzione inversa, passando dalla somma algebrica al prodotto): in entrambi i casi, occorre e basta prima riconoscere il prodotto notevole o il suo sviluppo e poi sostituire ad A e B le espressioni corrispondenti.

Per esempio: (3x + 2y)(3x - 2y) è un prodotto il cui sviluppo è di 2 ⋅ 2 = 4 termini, ma riducibili a 2. Infatti, è il prodotto di somma e differenza di 3x e 2y. Allora basta sostituire nel suo sviluppo (differenza dei quadrati di A e B) 3x al posto di A e 2y al posto di B, anziché sviluppare direttamente il prodotto, ottenendo subito la differenza fra il quadrato di 3x e il quadrato di 2y.

Quadrati e cubi di polinomi sono potenze, dunque sono definite come il prodotto di tanti fattori uguali al polinomio di base quanti indicati dall'esponente: è notevole il prodotto che li definisce come potenza.

Le uguaglianze dei prodotti notevoli non dipendono dal valore delle variabili: perciò vengono dette identità, perché sono equazioni soddisfatte da qualsiasi valore delle incognite.

Proprio questa indipendenza dai valori delle variabili dei prodotti notevoli li rende strategici, poiché il ruolo giocato da A o B può essere ricoperto non solo da monomi, bensì anche da qualsiasi altra espressione: il prodotto notevole permette così di ridurre lo sviluppo di espressioni anche molto complesse.

Quindi, per esempio, anche il quadrato di un binomio è il quadrato di una somma di 2 termini, non necessariamente di 2 monomi.

Qui si tratta di un prodotto di 2 trinomi, non di una somma per differenza fra 2 monomi, ma lo si può trattare come se lo fosse facendo giocare il ruolo di A all'espressione a + b, poiché si nota che è identica nei 2 fattori.

Il quadrato di una somma non è uguale alla somma dei quadrati.

Lo sviluppo del quadrato del binomio dimostra - una volta di più! - che la proprietà delle potenze con uguale esponente vale per il prodotto o il quoziente, ma non per la somma per la quale occorre aggiungere alla somma dei quadrati anche il doppio prodotto.

Per determinare lo sviluppo della potenza n-esima del binomio senza fare calcoli, si può ricorrere al triangolo di Tartaglia e considerare la sua n-esima riga: essa mostra i coefficienti dei monomi dello sviluppo, espresso in ordine decrescente rispetto al primo monomio e in ordine crescente rispetto al secondo.

Consideriamo nell'ICONMAP precedente a = n, b=1. Otteniamo:

ritroviamo, cioè, l'evidenza geometrica del fatto che ogni numero dispari d = 2n +1 può essere espresso come differenza di 2 quadrati consecutivi. 

Verifichiamolo ora algebricamente, applicando i prodotti notevoli. 

Possiamo, infatti, sviluppare il quadrato di binomio e poi ridurre:

oppure fattorizzare la differenza dei 2 quadrati secondo il prodotto notevole di cui essa è sviluppo:

In entrambi i casi si ottiene:  

Abbiamo appena dimostrato, quindi, anche algebricamente ciò che già avevamo dimostrato per via geometrica: ogni numero dispari d si può esprimere nella forma 2n + 1 (motivo per cui si è scelta la notazione speciale 2N + 1 per contrassegnare l'insieme dei numeri dispari).