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Il tuo coraggio sarà subito premiato! Sto per mostrarti un argomento avvincente che ha letteralmente "stregato" matematici di tutti i tempi e che ha a che fare proprio con la proprietà associativa dell'addizione di numeri naturali...
Esiste una branca della matematica che si chiama TEORIA DEI NUMERI: essa si interessa esclusivamente ai numeri interi ed è sfidante perché presenta dei problemi tanto semplici nell'enunciato quanto difficili da risolvere, alcuni dei quali restano ancora oggi aperti.
Uno di questi è il famoso problema delle partizioni, risolto appena pochi anni fa!
... ma andiamo con calma e partiamo dall'inizio: che cos'è una partizione?
Una partizione di un numero naturale positivo n è un'espressione equivalente a n ottenuta dissociando n in suoi addendi positivi in tutti i modi possibili (a meno dell'ordine degli addendi che non ha importanza): è un'applicazione della proprietà associativa dell'addizione che ci garantisce che in un'espressione possiamo sempre sostituire un numero con una sua somma equivalente, così dissociato.
Esempio:
1 ammette 1 sola partizione: 1 = 1 (partizione banale)
2 ammette 2 partizioni di cui 1 non banale:
2 = 2 (partizione banale)
2 = 1 + 1
3 ammette 3 partizioni di cui 2 non banali:
3 = 3 (partizione banale)
3 = 2 + 1
3 = 1 + 1 + 1
La partizione è, quindi, una dissociazione in addendi! Ricordi la partizione insiemistica? In aritmetica, come vedi, il concetto è analogo!
Possiamo osservare, allora, che dissociare un numero naturale n in suoi addendi è analogo a ripartire un insieme in suoi sottoinsiemi, poiché:
ogni addendo deve essere diverso da 0 (così come i sottoinsiemi devono essere diversi dall'insieme vuoto);
gli addendi sono considerati disgiunti (così come i sottoinsiemi) anche quando si ripetano;
la somma degli addendi deve essere n (così come l'unione dei sottoinsiemi deve essere l'insieme).
La dissociazione di un numero naturale nei suoi addendi è detta partizione additiva o, più semplicemente partizione.
Semplice, vero? Verrebbe da chiedersi: allora n quante partizioni ammette? Osserva allora bene i 3 esempi che ti ho illustrato prima e prova a generalizzare... ti sembra semplice? Eppure...
Anche se per n = 1, n = 2 e n = 3 il numero di partizioni del numero naturale n coincide con n, non si può dedurre che questa sia la regola generale.
Controesempio:
4 ammette 5 partizioni di cui 4 non banali:
4 = 4 (partizione banale)
4 = 3 + 1
4 = 2 + 2
4 = 2 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 1 + 1
Hai visto? Prima di formulare un'ipotesi, è bene fare un buon numero di esempi!!!
La cosa si fa interessante: prova a fare qualche altro esempio, osserva se ci sia una regolarità che ti permetta di congetturare una possibile formula!
MATHLAB Determina tutte le partizioni di 5, 6, 7 e 8 e poi controlla con la soluzione sottostante.
Se vuoi produrre altri esempi, consulta questo generatore di partizioni. Avrai ormai capito che non è così semplice stabilire quante partizioni distinte ammetta un qualsiasi numero naturale. E in effetti si tratta di un quesito che ha fatto arrovellare la mente di geni matematici...
Lo storico problema delle partizioni è il seguente: è possibile stabilire per ogni numero naturale n quante siano le sue partizioni distinte possibili? E, se lo è, come?
Certamente, dato n, si può cercare di calcolarlo, ma i calcoli diventano subito impegnativi: già solo il numero di partizione di n = 100 ha ben 9 cifre (per curiosità, guarda qui).
La domanda è: esiste allora una formula che possa essere applicata a qualsiasi numero naturale n e che permetta di determinarne il numero di partizioni distinte (a meno dell'ordine degli addendi), senza doverle produrre una a una?
Conoscerai più avanti nel tuo percorso le funzioni, enti matematici che a ogni n associano uno e un solo valore, secondo una legge descritta da un'espressione algebrica. Ecco: la formula che stiamo cercando è proprio quella legge che possa descrivere la funzione di partizione p(n) in modo tale che ad ogni n associ il numero delle sue partizioni distinte... ma non dannarti nel tentativo di trovarla, come tanti prima di te hanno tentato di fare, perché almeno questo è un problema che oggi è definitivamente risolto. Non da molto, a dire il vero...
Già nel XVIII secolo Eulero aveva tentato di risolverlo, senza riuscirvi del tutto. Si deve al matematico indiano S. Ramanujan e al suo mentore G. H. Hardy, una delle coppie di ricerca matematica più bizzarre e meglio riuscite al tempo stesso di inizio del secolo scorso, una formula che approssima il numero, con un margine di errore molto ridotto, ma che per quanto ridotto sia... non è nullo!
SNIRIVASA RAMANUJAN
(1887-1920)
Il problema sopravvisse a Ramanujan la cui morte purtroppo decisamente prematura non permise lo sviluppo di sue ulteriori intuizioni sull'argomento.
HANS RADEMACHER
(1892-1969)
Si deve al tedesco H. Rademacher, solo qualche anno più tardi, nel 1937, una formula esatta ma la cui complessità di applicazione è tale da non essere considerabile di fatto risolutiva, poiché richiede di addizionare numeri con infinite cifre decimali.
Il problema fu, invece, definitivamente risolto solo nel 2011 da K. Ono, scomodando la teoria dei frattali, avendo intuito che le partizioni di fatto lo sono:
la funzione di partizione è così stata finalmente scoperta, una sorta di "oracolo magico" secondo lo stesso Ono!
Curioso, vero? Incontreremo altri ambiti in cui la "partizione" è oggetto di grande interesse: la partizione del piano in geometria, la partizione statistica dei dati in classi, la partizione dell'insieme dei numeri naturali in aritmetica, la partizione delle probabilità... Ti aspettano altri problemi altrettanto sfidanti della Teoria dei Numeri - come la congettura di Goldbach - che con le partizioni hanno... molto da spartire!
Nel frattempo puoi divertirti con un gioco logico, il KAKURO, che si basa proprio sulle partizioni additive. Prima di spiegarti come funzioni, ancora un'osservazione...
Dato un numero naturale n, scelto il numero a di addendi in cui lo si vuole dissociare, ci sono casi in cui ci sia una unica dissociazione possibile negli a addendi distinti (sempre a meno dell'ordine dei fattori). Per esempio c'è un solo modo di dissociare 3 in 2 addendi: 1 + 2.
Nel gioco del kakuro è strategico considerare per ogni n tali partizioni uniche per un numero fissato a di addendi.
Esempio:
se si considerano le dissociazioni in 2 addendi distinti, n = 3 ha un'unica partizione (2 + 1), così pure n = 4 ha un'unica partizione (3 + 1), mentre per n = 5 esistono 2 partizioni in 2 addendi distinti (4 + 1 e 3 + 2).
Consideriamo ora una lista delle partizioni uniche, suddivise in funzione del numero di addendi distinti in cui dissociare un naturale: servirà per poter riempire lo schema del kakuro.
Capito questo, hai tutto quello che ti serve per giocare... via!
PLAYMATH Clicca su "Generate puzzle". Quindi riempi gli spazi bianchi dello schema con cifre dall'1 al 9, seguendo queste 2 regole:
1) la somma dei numeri inseriti in ogni blocco deve corrispondere esattamente al valore indicato in testa alla riga o alla colonna;
2) non puoi mai usare lo stesso numero 2 volte all'interno della stessa riga o colonna (cioè in ogni riga o colonna i numeri devono essere tutti distinti fra loro).
Suggerimento: considera gli spazi che ammettono della somma indicata una partizione unica.
Se vuoi saperne di più, clicca clicca qui.
Niente male per essere alle prime armi! Avanti così!
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