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Ora prendi posto, in aula: la prof. Sibilla è pronta a introdurti nel cuore della probabilità classica. Ripartiamo dalle definizioni e dagli esempi che in probabilità sono superimportanti: a essi cercherai di ricondurre i quesiti che di volta in volta ti verranno proposti. La sfida sarà soprattutto questa!
Come detto, nella probabilità classica devono essere soddisfatte 3 condizioni:
gli eventi devono essere verificabili, cioè a posteriori si deve poter dire con certezza se siano accaduti o no;
si deve conoscere o dedurre esattamente quanti siano i casi possibili;
i casi possibili devono avere tutti la stessa probabilità.
Come hai visto, poiché nella probabilità classica si deve poter conoscere il numero dei casi possibili, si considerano spesso i mazzi di carte, i dadi, le monete, gli spinner, le urne con contenuto noto, la tombola, etc... perché per questi oggetti si conoscono tutti i casi possibili in merito all'azione che genera l'evento (estrazione o lancio).
Distinguiamo 3 situazioni:
l'evento è singolo, cioè si chiede se si sia verificata 1 sola condizione;
l'evento è multiplo, cioè si considerano più condizioni (considerate ciascuna come eventi componenti l'evento multiplo) e basta che se ne verifichi almeno una affinché l'evento multiplo si produca;
l'evento è multiplo, cioè si considerano più condizioni (considerate ciascuna come eventi componenti l'evento multiplo) e occorre che tutte si verifichino affinché l'evento multiplo si produca.
Nel 1° caso si tratterà di probabilità semplice, nel 2° di probabilità totale e nel 3° di probabilità composta.
Prima di farti scoprire ogni segreto, mettiti in situazione!
MATHLAB Classifica le situazioni presentate in casi di probabilità semplice, totale o composta. Poi confrontati con i tuoi compagni, argomentando con cura la tua supposizione.
Le pozioni di Piton
Durante una lezione di algebra, Piton prepara 3 pozioni diverse ma indistinguibili: invisibilità al professore che stia scegliendo chi interrogare; apprendimento immediato di tutti i contenuti di un libro su cui devi studiare; realizzazione istantanea di una tavola di tecnologia che richiede almeno 3 ore per l'esecuzione. Piton ti chiede di sceglierne una, a caso che potrai usare nella tua prossima lezione. Qual è la probabilità che tu scelga la pozione per un incantesimo di invisibilità al professore che stia scegliendo chi interrogare?
MagicSet Cards
Stai sfidando Harry, Hermione e Ron alle MagicSet Cards. Avete deciso che questa volta le userete così: vincerà chi per primo, al proprio turno, avrà estratto 3 carte tutte dello stesso colore (senza magie!). Quale probabilità hai di riuscirci?
Caramelle Tuttigusti+1
Sul treno “Tripotter Express” ti stanno proponendo l’acquisto di gelatine Tuttigusti+1. Ce ne sono 10 ai radicali irrazionali, 5 alle frazioni senza significato, 8 alle proporzioni false, 7 alle equazioni impossibili, ma puoi solo pescarle a caso. Quale probabilità hai di pescare al primo tentativo una caramella alle equazioni impossibili oppure una caramella alle proporzioni false?
Hai risposto nell'ordine semplice, composta e totale? Molto bene! Ora vediamo bene in dettaglio le diverse situazioni con questa mappa che ho ideato per orientarti anche nel seguito... quanto alla situazione delle MagicSet Cards, se le carte vengono reimmesse nel mazzo a ogni tentativo, sarai di fronte a un caso di probabilità composta non condizionata (dalle carte già estratte), altrimenti a un caso di probabilità composta condizionata!
Passiamo ora al calcolo della probabilità per ogni situazione:
Gli eventi multipli possono essere trattati come tali secondo il modo in cui gli eventi singoli che li formano sono correlati fra loro (uniti con la "o" oppure intersecati cone la "e"), con formule proprie. Volendo, possono essere reinterpretati anche come evento singolo, considerando le diverse condizioni come una sola (e a volte converrà). Prima di proseguire, fissa bene l'idea di base: per la composta si moltiplica, per la totale si somma...
ICONMAP
Per distinguere bene quale formula applicare, è importante qualificare gli eventi, cioè sia saperli classificare sia seper confrontare fra loro gli eventi singoli che formano gli eventi multipli:
Impara a qualificare gli eventi, guardando questi esempi:
TUTORMATH
RICORDA: poiché la composta è parte anche della totale, nel caso di tutti gli eventi multipli chiediti come prima cosa se i singoli eventi siano fra loro compatibili!
Se non lo sono, NON calcolare la probabilità composta: è 0 (si tratterebbe, infatti, di probabilità composta condizionata in cui ogni evento condizionato avrebbe probabilità nulla). Potresti cadere in errore e calcolarla come probabilità composta non condizionata e... ottenere così qualcosa di diverso da 0. Occhio, intesi?
Ora ti mostro ora un esempio per ciascuna tipologia di evento e probabilità:
Allenati ora a distinguere probabilità semplice, totale e composta, con questi esempi:
TUTORMATH
Eventi condizionanti ed eventi condizionati... meglio chiarire:
Calcolare la probabilità di un evento E1 condizionato o meno da un evento E2 significa calcolare la probabilità di E1 nell'ipotesi che l'E2 si sia prodotto.
Esempio: da un'urna contenente 3 biglie rosse (R), 2 verdi (V) e 5 gialle (G), qual è la probabilità di pescarne 2 gialle?
Esempio: da un'urna contenente 3 biglie rosse (R), 2 verdi (V) e 5 gialle (G), qual è la probabilità di pescarne 2 gialle?
E1 = esce G; p(E1 ) = 5/10 = 1/2
E2 = esce G
E2 condizionato da E1 significa considerare E2 nell'ipotesi che E1 si sia prodotto, cioè nell'ipotesi che la prima biglia estratta (e non reimbussolata) sia G. I casi possibili sono perciò 9, perché c'è una biglia in meno, e sono 3 biglie R, 2 V e 4 G poiché a essere stata estratta e non reimbussolata è 1 G. Quindi: p(E2 /E1 ) = 4/9
Se l'azione è unica, i casi favorevoli dell'evento condizionante (E1 ) diventano così i casi possibili per l'evento condizionato (E2 ).
Esempio: da un mazzo di carte estrarre una carta che sia NERA PARI?
L'azione è unica, poiché di fatto si estrae una sola carta.
E1 = esce una carta NERA
p(E1) = 26/52 = 1/2
E2 = esce una carta PARI
p(E2) = 20/52 = 5/13
E2 condizionato da E1 significa considerare E2 nell'ipotesi che E1 si sia prodotto, cioè nell'ipotesi che la carta estratta sia una carta NERA. Quindi: i casi possibili perché la carta estratta sia PARI sono 26, perché l'estrazione è unica e 26 sono i casi favorevoli all'estrazione di una carta NERA, evento che si sta considerando come avvenuto. Quindi:
p(E2 /E1) = 10/26 = 5/13
Dunque: p(E) = p(E1) · p(E2 /E1) = 1/2 · 5/13 = 5/26
NOTA BENE: ogni evento E2 è sempre potenzialmente condizionabile da E1, perciò la probabilità di E2/E1 può essere considerata in ogni caso. Se poi accade che la probabilità del 2° evento sia diversa a seconda che il 1° si sia prodotto o meno, cioè se p(E2 /E1 ) ≠ p(E2), allora se ne deduce che il condizionamento sia effettivo (cioè E1 condiziona E2) e che si tratti quindi di probabilità composta condizionata; diversamente si tratta di probabilità composta non condizionata.
Nell'esempio precedente:
p(E2 /E1) = 5/13 = p(E2)
Quindi il condizionamento di E1 su E2 non è effettivo, poiché p(E2 /E1) = p(E2).
Si tratta, quindi, di un caso di probabilità composta non condizionata.
Ti faccio ancora un esempio - un po' più sfidante! - di probabilità condizionata:
Se gli eventi di un evento multiplo sono più di 2, allora riconducine la probabilità totale a un caso di probabilità semplice, contando tutti i casi favorevoli, cioè chiedendoti per ciascuno dei casi possibili se sia favorevole ad almeno uno dei singoli eventi! Oppure passa attraverso la probabilità dell'evento complementare:
p(E1 ∪ E2 ∪ E3) = 1 - p(nonE1 ⋂ nonE2 ⋂ nonE3)
Infine, per risolvere i problemi della probabilità classica, sappi che puoi anche utilizzare i grafi. Cosa sono e in quale modo utilizzarli? Ti mostro qualche esempio:
MATHLAB Ora risolvi le 3 situazioni di cui sopra: MagicSet Cards,, le pozioni di Piton e caramelle Tuttigusti+1.
Non male per un apprendista! Allora puoi misurarti con la probabilità frequentista!
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