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Mettiti alla prova! Ti propongo quesiti che richiedano una buona osservazione e un pizzico d'ingegno! Quindi osserva, ricorda e... credi in te!
QUESITO 1
Quanto misura l'area di ogni cerchio?
Quanto misura l'area rossa?
SOLUZIONE
La base del rettangolo misura quanto il quadruplo del raggio dei 2 cerchi: 4R = 20, da cui R = 20/4 = 5.
Quindi l'area di ogni cerchio misura 25π.
La diagonale separa il rettangolo in 2 figure congruenti.
Quindi:
area rossa = (area del rettangolo - somma delle aree dei 2 cerchi)/2 =
= (20 · 10 - 2 · 25π) / 2 = (200 - 50π) / 2 = 100 - 25π
QUESITO 2
Quanto misura l'area viola?
SOLUZIONE
Poiché CE è lungo 4 cm e FG 1 cm, allora DG, raggio del cerchio esterno, è lungo 4 cm.
Area viola = area del cerchio esterno - (somma delle aree dei 3 cerchi bianchi) =
= 16π - (4π + 2 · π) = 16π - 6π = 10π cm 2
QUESITO 3
Quanto misura l'area verde?
Quanto misura il perimetro della figura verde?
SOLUZIONE
Il diametro del cerchio esterno è lungo 2·3 + 2·2 = 10 m; il raggio del cerchio esterno è perciò lungo 5 m.
Area verde = area del cerchio esterno - (somma delle aree dei 2 cerchi bianchi) =
= 25π - (9π + 4π) = 12π m 2
Perimetro figura verde = somma delle 3 circonferenze =
= 10π + 6π + 4π = 20π m 2
QUESITO 4
Quanto misura l'area verde?
Esprimila in funzione di r, quindi calcolala in un caso particolare (per esempio, se r = 5).
SOLUZIONE
Area verde = area del quadrato - (somma dei 4 quarti di cerchio bianchi) =
= area del quadrato - area del cerchio bianco =
= 4r2 - πr2 = r2 · (4 - π)
Questi primi 4 quesiti ti spronano a utilizzare la strategia che abbiamo chiamato "stencil", ricordi? Ora ti presento un quesito che ha fatto scuola...
QUESITO 5*
Quanto misura la diagonale del rettangolo?
Quanto misura l'area del rettangolo?
SOLUZIONE
Martin Gardner scrive:
"Questo problema è molto più semplice di quanto sembri a prima vista. Le 2 diagonali di un rettangolo sono uguali. Una diagonale è quella di cui si chiede la lunghezza; l'altra è chiaramente il raggio del cerchio. Poiché il raggio è lungo 5 + 5 = 10, anche la diagonale del rettangolo deve essere 10."
Per l'area del rettangolo, occorre l'altezza.
Se si osserva che il triangolo formato dalla base della figura dalla diagonale-raggio e dal segmento a essa simmetrico è equilatero, allora si ha immediatamente l'altezza h = lato/2 · √3 = 5√3.
Se non lo si nota, basta applicare il teorema di Pitagora:
h = √ 100 - 25 = √ 75 = √ 25 · 3 = 5√3
Quindi, area del rettangolo = 5 · 5√3 = 25√3
*Questo celebre quesito è tratto dal celebre saggio "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner.
Forse ti stai chiedendo come tu abbia fatto a non notare subito una soluzione così diretta? Eh, era nascosta... anche se in piena vista! Questo è quello che Gardner chiamava "effetto Eureka" che spesso la matematica sa regalarci, quando una semplice ma non evidente osservazione ci offre una soluzione immediata: ecco perché è sempre bene osservare con attenzione un quesito prima di cercare di risolverlo...
QUESITO 6
Quanto misura l'area verde?
SOLUZIONE
Il triangolo è inscritto nella semicirconferenza: quindi è rettangolo. AC, la sua ipotenusa è anche il diametro del cerchio e misura 5 m (terna pitagorica).
Il raggio del cerchio misura perciò 2,5 m.
Area verde = area del cerchio - area del triangolo =
= (6,25π - 6) m 2
QUESITO 7
Quanto misura l'angolo y?
SOLUZIONE
Il triangolo giallo è inscritto nel semicerchio: quindi è rettangolo. Perciò 5x = 90°, da cui x = 18°.
y = 180° - (5x + 3x) = 180° - 8x = 180° - 8·18° = 36°
QUESITO 8
Quanto misura il diametro?
SOLUZIONE
Il disegno individua un triangolo inscritto in una semicirconferenza, triangolo la cui ipotenusa coincide con il diametro e del quale:
una proiezione sull'ipotenusa è lunga 10;
l'altezza relativa all'ipotenusa è lunga 5.
Applicando il 2° teorema di Euclide, si ottiene l'altra proiezione = 5 · 5 : 10 = 2,5. Quindi:
diametro = 10 + 2,5 = 12,5
QUESITO 9
Quanto misura il raggio?
SOLUZIONE
Il triangolo BCH è rettangolo e le sue misure corrispondono alla terna pitagorica (5;12;13), essendo l'ipotenusa lunga 13 e un cateto lungo 5.
Quindi CH misura 12.
Il triangolo ABC è inscritto nel semicerchio: quindi è rettangolo.
Per il 1° teorema di Euclide, AC misura 13 · 13 : 12 = 169/12.
r = d : 2 = 169/24
Questi 4 quesiti che ti ho appena presentato sfruttano la proprietà del triangolo inscritto nella semicirconferenza (o, detto in modo equivalente, nel semicerchio): ricorda, è sempre rettangolo! Quindi pensa subito a Pitagora e a Euclide: facilmente ti aprono la strada a soluzioni alla tua portata, semplici e per questo ben più eleganti di altre trigonometriche!
Se vuoi esercitarti su problemi analoghi, prova con questi:
Area azzurra?
Area verde?
Area blu?
Area ACD?
Ora allenati su equiscomposizioni, semicerchi, segmenti circolari, lunule, girandole...
QUESITO 10
Quanto misura l'area rossa?
Quanto misura il perimetro della figura rossa?
SOLUZIONE
Nella figura si possono riconoscere 4 quadrati congruenti, ciascuno contenente un quarto di cerchio e uno "scarto" (così chiamiamo qui e nel seguito la differenza quadrato - quarto di cerchio):
L'area rossa è equivalente quindi a 2 quarti di cerchio + 2 scarti, cioè a metà del quadrato.
Perciò l'area rossa è 64 : 2 = 32 cm 2
QUESITO 11
Dato il quadrato di lato 10 cm, quanto misura l'area rossa?
SOLUZIONE
Scomponendo il quadrato in quarti di cerchio e scarti e ricomponendo, otteniamo un'area rossa totale che risulta essere la metà del quadrato:
Quindi: area rossa = 100 : 2 = 50 cm 2
QUESITO 12
Quanto misura l'area nera?
SOLUZIONE
Con la strategia dello "stencil", deduciamo l'area nera come differenza fra l'area del quadrato e l'area bianca:
Perciò l'area nera è: 3/4 - π/8 = (6 - π)/8 m 2
QUESITO 13
Quanto misura il rapporto fra l'area gialla e quella azzurra?
SOLUZIONE
La figura complessiva è formata da 10 quadrati congruenti. Si può osservare che l'area gialla è equivalente a 9 quadrati + 1/2 quadrato, poiché il quadrato in alto è formato da 2 quarti + 2 scarti, come nel quesito 9. Quindi l'area gialla è multipla della blu.
Precisamente:
area gialla = 9,5 quadretti = 19/20 della figura
area blu = 0,5 quadretti = 1/20 della figura
Il rapporto fra i 2 è 19 : 1
QUESITO 14
Quanto misura l'area verde?
SOLUZIONE
Scomponendo la figura lungo i 2 assi di simmetria paralleli ai lati nei 4 quadrati di lato 8, otteniamo 4 figure che sono simili a quella del quesito 10.
Pertanto l'area verde totale è equivalente alla metà del quadrato:
area verde = 256 : 2 = 128
QUESITO 15
Quanto misura l'area azzurra?
Quanto misura il perimetro della figura bianca?
SOLUZIONE
La superficie azzurra è formata da 8 scarti. Pertanto:
area azzurra = (16 - 16π/4) · 8 = (16 - 4π) · 8 =
= 128 - 32π cm 2
Il perimetro equivale alla lunghezza di 2 circonferenze di raggio 4 cm. Quindi:
perimetro = (2 · 4 · π) · 2 = 16π cm
QUESITO 16
Quanto misura l'area gialla?
SOLUZIONE
Si osserva che l'intera "corolla" è formata da 6 "petali" congruenti, poiché l'esagono è regolare; perciò il quesito si riduce a determinare il rapporto in ogni "petalo" fra la lunula L e l'area del triangolo equilatero T di lato n.
Il lato di T è anche il diametro del semicerchio di L.
Perciò:
Area L = Area semicerchio di L - Area segmento circolare
Area segmento circolare = Area settore - area T
Quindi:
Area L = Area semicerchio di L - Area settore + area T
Calcoliamo:
Area semicerchio di L = (n/2) 2 · π / 2 = n 2 · π / 8
Area settore = n 2 · π / 6
Area T = n 2 · √3 / 4
Perciò:
Area L = n 2 · π / 8 - n 2 · π / 6 + n 2 · √3 / 4 =
= (6√3 - π) · n 2 / 24
QUESITO 17
Quanto misura il rapporto fra l'area gialla e l'area bianca?
SOLUZIONE
Questa soluzione grafica non è l'unica possibile, ma certamente è la più elegante, perché anche in questo caso un'acuta osservazione porta subito alla soluzione:
Se ne deduce che l'area gialla e quella bianca sono uguali. Perciò il rapporto tra loro è 1 : 1
QUESITO 18
Quanto misura l'area verde?
SOLUZIONE
Si nota che il cerchio è suddiviso in 12 figure congruenti.
Quindi:
area verde totale = 4 · area della singola figura =
= 4 · (area cerchio / 12) = 4 · (π / 12) = π / 3
Ormai l'equiscomposizione ti sarà diventata alleata! Ti invito perciò a spostare l'attenzione su altro: ragioniamo ora sugli angoli alla circonferenza e al centro...
QUESITO 19
Quanto misura il rapporto fra r e l ?
SOLUZIONE
L'angolo ACB ha ampiezza doppia rispetto a quella del suo corrispondente angolo alla circonferenza che misura 30°. Quindi ABC è equilatero. Ne consegue che AC = AB. Quindi il rapporto AC / AB = 1.
QUESITO 20
Quanto misura il rapporto fra l'area verde e la rossa?
SOLUZIONE
Si può calcolarlo considerando il settore, ma il rapporto fra l'area verde e la rossa è lo stesso che c'è fra il cerchio completo verde e quello completo rosso.
Quindi:
Area cerchio verde = 36π
Area cerchio rosso = 9π
Area corona circolare verde = 36π - 9π =27π
Area verde/rossa = 27π : 9π = 3 : 1
N.B.: come già per i poligoni, anche per i cerchi il rapporto fra le aree è il quadrato del rapporto di similitudine. Quindi se il raggio raddoppia, l'area diventa quadrupla.
Hai risolto tutti questi quesiti? Caspita, allora hai un ottimo spirito di osservazione e notevoli abilità di problem solving! Non ti resta che ripassare sul quadernino quanto hai appreso!
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