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Todo conocedor del juego del dominó, sabe que son muchas las veces que el juego toma un carácter matemático y de cálculo, donde además la misma probabilidad, ante el desconocimiento a priori de fichas, puede justificar muchas de las jugadas, pues al jugar sobre la situación más probable acertaremos en más de las ocasiones que si elegimos la ficha al azar.
En este libro se tratan los aspectos matemáticos del mismo, y a modo de ejemplo se citarán algunos datos que serán de gran ayuda al jugador:
Suma de todos los tantos.-Prescindiendo de los dobles, de cada palo hay n caras. Con el doble, n +2. Por tanto: S=(n+2)(0+1+2+...+n) = (n+2) (n+1) n / 2. En el ordinario, al que en lo sucesivo nos referiremos, n = 6. Por lo que tendremos: 8*7*6 / 2 = 168 unidades o tantos.
Número de juegos diferentes.- Es el de combinaciones de orden siete de veintiocho elementos: 28! / 2! 7! = 1.184.040 juegos diferentes.
Cierres.- Los cierres que dan un mayor número de tantos son aquellos en que se han jugado las fichas estrictamente necesarias (dos de cada uno de los restantes palos). Estudiemos estos cierres.
La suma, S, de las unidades colocadas es: S=2(1+2+3+4+5+6)+6 x n = 42 + 6 x n; n es el palo al que se cierra.
El cierre valdrá: C=168-(42+6 x n) = 126 – 6.n. Dándole a n los valores 0, 1, 2, …,6, obtendremos los mayores cierres a blancos, unos, doses, …, seises. Estos son respectivamente, 126, 120, 114, 108, 102, 96 y 90.
En los cierres en que se han jugado pocas fichas sería conveniente recordar estos números, pues podríamos calcular el valor del cierre restando de ellos los puntos de los pares de caras no necesarias.
El número 126 - 6 x n es par. Si en lugar de haber de los demás palos solo dos caras jugadas, hay cuatro o seis de alguno de ellos, al número 126 – 6 x n le restaríamos otro número par; por tanto, en cualquier cierre el número de tantos a contar es par.
Este último dato es muy útil ya que si al cerrar nuestros tantos son par o impar, debemos esperar lo mismo de los contados en la pareja contraria. En caso contrario tengamos por seguro que nos hemos equivocado al sumar, debiendo repetir la cuenta.
Clasificación de los juegos.- Podemos fijarnos en cualquier característica del juego, pero lo haremos en base a estos cuatro aspectos:
a) Número de tantos
15 ó 69 Tantos de 3 maneras
16 ó 68 Tantos de 9 maneras
17 ó 67 Tantos de 29 maneras
18 ó 66 Tantos de 67 maneras
19 ó 65 Tantos de 147 maneras
20 ó 64 Tantos de 283 maneras
21 ó 63 Tantos de 526 maneras
22 ó 62 Tantos de 893 maneras
23 ó 61 Tantos de 1.470 maneras
24 ó 60 Tantos de 2.287 maneras
25 ó 59 Tantos de 3.451 maneras
26 ó 58 Tantos de 4.990 maneras
27 ó 57 Tantos de 7.030 maneras
28 ó 56 Tantos de 9.559 maneras
29 ó 55 Tantos de 12.697 maneras
30 ó 54 Tantos de 16.375 maneras
31 ó 53 Tantos de 20.664 maneras
32 ó 52 Tantos de 25.406 maneras
33 ó 51 Tantos de 30.621 maneras
34 ó 50 Tantos de 36.034 maneras
35 ó 49 Tantos de 41.618 maneras
36 ó 48 Tantos de 47.022 maneras
37 ó 47 Tantos de 52.174 maneras
38 ó 46 Tantos de 56.696 maneras
39 ó 45 Tantos de 60.548 maneras
40 ó 44 Tantos de 63.362 maneras
41 ó 43 Tantos de 65.186 maneras
42 Tantos de 65.746 maneras
1.184.040 Maneras en total
En base a estos datos del libro que nos ocupa, podríamos establecer la siguiente tabla creo más útil para recordar sobre la puntuación del juego:
Juegos entre 38 – 46, juego medio, 557.330 (47,07 %)
Juegos entre 47 – 55, juego alto, 282.611 (23,87 %)
Juegos entre 27 – 39, juego bajo, 282.611 (23,87 %)
Juegos entre 56 - 69, juego muy alto, 30.744 (2,60 %)
Juegos entre 15 - 26, juego muy bajo, 30.744 (2,60 %)
Podríamos concluir como regla a memorizar que, aproximadamente la mitad de los juegos serán juegos medios (38-46), una cuarta parte serán altos (47-55), una cuarta parte bajos (27-39), y con poca frecuencia, una de cada 19 manos será o bien muy alto (56-69), o bien muy bajo (15-26).
b) Número de dobles
116.280 (0 dobles) + 379.848 (1 doble) + 427.329 (2 dobles) + 209.475 (3 dobles) + 46.550 (4 dobles) + 4.410 (5 dobles) + 147 (6 dobles) + 1 (0 dobles) = 1184040.
En base a estos cálculos, expuestos en el libro, debemos estar preparados para jugar con dobles en nueve de cada diez manos, aproximadamente. Lo más probable es tener dos dobles (4 de cada 10), un doble (3 de cada 10) o tres dobles (2 de cada 10), los casos de 4 o más dobles (1 de cada 25), siendo muy improbable el resto de casos.
c) Número de fallos
Juego con fallos:
4.200 (3 fallos) + 122.535 (2 fallos) + 556.290 (1 fallo) = 683.025 (57,68%)
********************
Juegos sin fallos:
1.184.040 – 683.025 (con fallos) = 501.015 (0 fallos) (42,32 %)
Por tanto lo más probable es levantar juegos con un fallo o ninguno, que supondrán 9 de cada 10 manos. Una de cada diez manos aproximadamente la jugaremos con 2 fallos.
d) Número de fichas de un mismo palo.
Habría dos casos especiales con una mínima probabilidad, es posible que en toda una vida como jugador de dominó no los veamos en nuestras manos: una ficha de cada palo (todo dobles, un caso entre más de un millón), y siete fichas de un mismo palo (7 combinaciones entre las ya conocidas 1.184.040 jugadas).
El resto de posibilidades de juego:
De dos de un palo: 7%
De tres de un palo: 63,4%
De cuatro de un palo: 26,8%
De cinco de un palo: 2,6 %
De seis de un palo: 0,087 %
De estos números se desprende que el jugador debe aprovechar bien los violines o manoplas pues apenas tendrá una de cada 38 juegos, siendo lo más probable, 9 de cada 10 manos, jugar con tres o cuatro fichas de un mismo palo.
El juego más probable.
Será el que reúna una o más de las siguientes características: Un fallo, uno o dos dobles, y tres o cuatro fichas de algún palo.
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