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Il volto dell'incertezza della probabilità scardina in chi la approccia l'illusione che "matematico" significhi "certo", sconfessando l'aspetto rassicurante proprio di questa disciplina, uno dei suoi punti di forza. 

Così accade che proprio quella branca della matematica che più ha a che fare con la vita reale sia vista con sospetto perché ritenuta complessa e difficile da applicare opportunamente.

In verità a essere complessa non è la probabilità ma la realtà, tangibile e concreta, ma anche multiforme e imprevedibile, difficilmente imbrigliabile in modelli probabilistici che vadano bene per tutte le stagioni: non è la probabilità a essere complicata! La difficoltà più grande che la probabilità presenta è, infatti, capire come decifrare il contesto a cui applicarla, non la sua applicazione.

Occorre, allora, porre una grande attenzione all'esemplificazione, proporre cioè un'abbondanza e varietà di esempi, in modo da farne comprendere pienamente il significato.

Sappiamo bene che lanciare una moneta 2 volte è equivalente al lancio contemporaneo di 2 monete, perché la probabilità non ha memoria e i 2 eventi sono indipendenti, ma può non essere ugualmente evidente per la mente di chi apprende i primi rudimenti di probabilità.

SUGGERIMENTO: evidenziare l'equivalenza fra le 2 situazioni e proporle via via alternativamente, ma preferire le azioni ripetute mentre, nel lancio simultaneo, rendere ben distinguibili gli oggetti lanciati (per esempio: 1 moneta da 1€ e 1 da 2€; dadi di 2 colori diversi; 2 oggetti diversi come spinner e dado, moneta e dado, 2 dadi con diverso numero di facce, etc).

La definizione di probabilità ridotta alla sola probabilità classica induce a considerare tutti gli eventi equiprobabili o ad applicare il modello a una realtà a cui non sia applicabile (per esempio, quando non si conosca il numero esatto dei casi possibili).

Qui per scelta non si è considerata la probabilità soggettivista, meno vicina forse alla possibilità di comprensione dei più giovani rispetto alla probabilità frequentista, ma si è inteso fare comprendere come la definizione di probabilità debba essere contestualizzata in funzione dell'ambito a cui debba essere applicata.

In questo senso va riletta la provocazione di Bertrand RUSSELL (1872-1970): “Il concetto di probabilità è il più importante della scienza moderna, perché nessuno ha la più pallida idea del suo significato”.

L'evento impossibile ammette probabilità, nulla, ma la ammette, altrimenti detto: l'impossibilità dell'evento non implica l'impossibilità della sua probabilità. Lo zero nella mente dei ragazzi è, invece, associato spesso alla vanificazione di ciò che si vuole operare o all'impossibilità di definizione, pregiudizio che può ingenerare l'idea che 0 non sia un valore accettabile per la probabilità e, di conseguenza, la confusione fra evento non verificabile ed evento impossibile. 

SUGGERIMENTO: proporre la contrapposizione di esempi della probabilità classica di eventi per i quali non sia possibile determinare i casi favorevoli (da cui la non verificabilità dell'evento) ed eventi impossibili per i quali sia evidente contare i casi sfavorevoli, mostrando che coprono tutti i casi possibili e dedurne, per differenza, la nullità di quelli favorevoli (da cui l'impossibilità dell'evento). 

Il concetto di complementarietà talvolta si presenta alla mente dei ragazzi come una dicotomia simmetrica fra i 2 enti interessati. Questo ingenera l'idea erronea che l'insieme dei casi favorevoli di ciascuno di essi copra esattamente la metà dei casi possibili e quindi abbia probabilità pari a 1/2. Suggestione che può essere involontariamente rafforzata dalla nostra scelta degli esempi offerti ai ragazzi.

SUGGERIMENTO: non limitarsi a proporre esempi di eventi complementari equiprobabili (testa vs croce, carta rossa vs carta nera, etc.) bensì mettere in evidenza esempi di eventi complementari in cui sia evidente la differenza fra le 2 probabilità (per esempio: E1 = esce 1 dal lancio di un dado e E2 = esce 2 o 3 o 4 o 5 o 6 dal lancio di un dado). 

La formula dà sicurezza agli studenti: è un porto sicuro in cui si rifugiano a buon diritto, ma spesso prima di aver compreso dove siano attraccati. Dovremmo aiutarli a capire, invece, che in matematica le formule debbano essere applicate solo dopo aver compreso esattamente l'intorno in cui si opera. 

Nel caso particolare della probabilità composta, capita di frequente che essi si mettano a calcolare la probabilità composta anche per gli eventi incompatibili come prodotto delle singole probabilità, senza rendersi invece conto che essa sia nulla a priori: ottengono così una probabilità errata perché non nulla.

Esempio di eventi scaturiti da una sola azione: 

calcolare la probabilità che da un dado esca sia 1 sia un numero pari.

Non è raro che vengano calcolate le singole probabilità (1/6 e 1/2) e poi moltiplicate, ottenendo 1/12 ≠ 0.

Esempio di eventi scaturiti da 2 azioni: 

calcolare la probabilità composta dei seguenti eventi: 

E1 : Esce T da moneta e 5 dal dado 

E2 : Esce C da moneta e un numero dispari dal dado

Anche in questo caso facilmente rischiano di essere calcolate le 2 singole probabilità (rispettivamente 1/12 e 1/2) e poi moltiplicate, ottenendo 1/24 ≠ 0.

Ricondursi alla probabilità semplice nel caso di eventi incompatibili - complementari e non - dimostra che la probabilità è invece nulla, a causa della mancanza di casi favorevoli comuni ai 2 eventi.

SUGGERIMENTO: insistere sul fare preventivamente l'analisi della complementarietà eventuale degli eventi, prima di calcolare la probabilità; proporre diversi esempi di incompatibilità fra eventi sia relativi a 1 sola azione sia a più azioni.

Un'altra attenzione da porre è la distinzione fra probabilità composta condizionata e non condizionata. 

Intanto deve essere chiaro a noi docenti che ci possono essere casi di eventi fra loro dipendenti (e, quindi, con probabilità composta condizionata) anche nel caso di una sola azione e che l'eventuale dipendenza in questo caso non è evidente a buon senso, come può esserlo invece per un'azione multipla (un esempio per tutti: doppia estrazione senza reimmissione). 

Certamente sono casi su cui non andremo a verificare i nostri allievi della scuola secondaria di I grado, ma perché non proporli, per evitare che si insinui nella loro mente una regola che non è corretta? Sì, perché nel caso di una sola azione, consegnare per probabilità totale di default la "regola della somma" senza sottrazione della composta o ritenere  a priori non condizionata la composta è proprio sbagliato!

Piuttosto che introdurre una semplificazione errata, è meglio suggerire il ricorso alla probabilità semplice.

Esempio: 

calcolare la probabilità che da un'urna di numeri compresi fra 1 e 25 si estragga un numero che sia multiplo di 3 e 4.

L'azione è unica, poiché si estrae un numero solo. 

Se si calcola la probabilità semplice dell'evento E, il calcolo è immediato, poiché 12 e 24 sono i soli casi favorevoli e si ha dunque p(E) = 2/25. Se, invece, si considera l'evento E = esce un multiplo di 3 e multiplo di 4 come evento multiplo formato dai 2 eventi:

• E1  = esce un multiplo di 3 

• E2  = esce un multiplo di 4

e si applica, quindi, la probabilità composta, occorre chiedersi preventivamente se sia condizionata o non, cioè se i 2 eventi siano fra loro dipendenti o indipendenti. Occorre, cioè, valutare se:

p(E1 /E2) = p(E1) o, in modo equivalente, se p(E2/E1) = p(E2).

Calcoliamo:

p(E1) = 8/25

p(E1 /E2) = 2/6 = 1/3

p(E2) = 6/25

p(E2 /E1) = 2/8 = 1/4

Abbiamo appena scoperto che gli eventi sono reciprocamente dipendenti, quindi la probabilità è composta condizionata. Allora: p(E) = p(E1) · p(E2 /E1) = 8/25 · 1/4 = 2/25, a conferma di quanto già evinto dal calcolo della probabiltà semplice dell'evento E.

Se si fosse considerato come caso di probabilità composta non condizionata, sarebbe risultata:

p(E) = p(E1) · p(E2) = 8/25 · 6/25 = 48/625 < 2/25 = p(E1) · p(E2 /E1).

Il rischio che corriamo noi docenti nell'introdurre la probabilità composta è limitare gli esempi di quella condizionata alle sole estrazioni successive senza reimmissione, inducendo così a credere che per la probabilità composta in generale basti moltiplicare le singole probabilità.

Certo, per non sbagliare, si potrebbe applicare sempre la formula di quella condizionata, che in un certo senso include e generalizza: infatti, se non lo fosse, la formula resterebbe comunque corretta, poiché  p(E1 /E2) = p(E1), ma questo, oltre che un po' contradditorio nella nomenclatura, è... complicare le cose semplici!

In conclusione: è meglio imparare a ricondursi alla probabilità semplice per eventi multipli, quando possibile (tipicamente quando sono scaturiti da 1 sola azione), e, quando non lo è, chiedersi se gli eventi siano indipendenti. 

In questa direzione, allora, occorre orientare la didattica. 

SUGGERIMENTO: illustrare varie tipologie di esempi di probabilità condizionata sia per azioni singole sia per azioni multiple (vedi altri esempi qui pubblicati) e insistere - come già detto - a fare calcolare la probabilità di scaturiti da azioni singole come probabilità semplice. 

Per la probabilità totale si può scegliere se presentare 1 sola formula:

• p(E) = p(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 ∩ E2)

 o se presentarne 2 distinte in funzione della compatibilità o incompatibilità degli eventi:

• p(E) = p(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 ∩ E2)  se gli eventi sono compatibili;

• p(E) = p(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) se gli eventi sono incompatibili, essendo nulla la loro probabilità composta.

Questo è un dubbio amletico che certamente deve tenere conto della classe a cui ci si rivolge, oltre che della propensione di pensiero dell'insegnante: non c'è una verità assoluta che possa decretare una migliore efficacia di una scelta rispetto all'altra. 

Infatti:

• il rischio a cui espone la formula unica nel caso di eventi incompatibili è, per quanto detto poco sopra, che alcuni studenti sottraggano una probabilità composta erroneamente non nulla perché ottenuta come prodotto delle singole probabilità; 

• il vantaggio della formula unica è quello di una completezza formale e, dal punto di vista dell'apprendimento, di una riduzione del carico cognitivo nell'individuazione della formula da utilizzare: il rischio a cui espone la proposta delle 2 formule è scegliere erroneamente la semplice somma delle probabilità per eventi compatibili.