Tema 07. Curvas cónicas

Repaso y ampliación de los conceptos estudiados anteriormente en relación con el cono y con las secciones que un plano produce en él

Cono

Superficie cónica. Haciendo girar una recta r alrededor de un eje e, al cual corta, se genera una superficie infinita, de dos ramas, con vértice común, llamada superficie cónica.

Cono recto. La porción de espacio comprendida entre el vértice de una superficie cónica y un plano perpendicular a su eje se llama cono recto, o simplemente cono. Si giramos un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos se genera un cono recto. La hipotenusa se corresponde en este caso con la generatriz.

Cono oblicuo. Si cortamos una superficie cónica por un plano no perpendicular al eje, obtenemos un cono oblicuo. En este caso hay que tener en cuenta que su base no es un círculo, sino una elipse.

Tronco de cono. Si cortamos un cono por un plano paralelo al plano de la base, el cuerpo geométrico comprendido entre los dos planos se llama tronco de cono. El tronco de cono es un cuerpo de revolución que se genera haciendo girar un trapecio rectángulo alrededor de su altura. El tronco de cono tiene dos bases circulares. La altura es la distancia entre las bases, y la generatriz es el segmento que ha generado la superficie lateral. La altura, h, la generatriz, g, y la diferencia de los radios, r - r', forman un triángulo rectángulo.

Secciones de un cono

Las curvas cónicas son aquellas que se obtienen cuando un plano secciona a una superficie cónica.

Tomando como referencia un cono de revolución de dos ramas se obtienen diferentes curvas según sea la posición del plano secante respecto del eje del cono. Estas curvas son:

Circunferencia. Cuando el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica y no pasa por el vértice. En este caso, la sección es producida por un plano cuyo ángulo con el eje es igual a 90º

Elipse. Es la curva que produce un plano secante que forma con el eje de la superficie cónica un ángulo mayor que el ángulo en el vértice del cono. Dicho plano secante corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Parábola. Cuando el plano secante forma con el eje del cono el mismo ángulo que el ángulo en el vértice o, lo que es lo mismo, cuando el plano secante es paralelo a una generatriz y dicho plano no pasa por el vértice, la curva resultante es la parábola.

Hipérbola. Es la curva que resulta de la sección que produce un plano secante que, sin pasar por el vértice, forma con el eje del cono un ángulo menor que el ángulo en el vértice. En este caso, dicho plano corta a las dos ramas del cono y la sección es una curva abierta de dos ramas llamada hipérbola.

Curvas cónicas. Conceptos fundamentales

ELIPSE. Es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen con la condición de que la suma de distancias desde cualquier punto de la curva a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor. PF₁ + PF₂ = 2a

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el centro. La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

Al eje mayor se le llama eje real y vale 2a.

Al eje menor se le llama eje virtual y vale 2b.

La distancia focal F₁F₂ vale 2c. Los focos están siempre en el eje real.

En la elipse siempre se verifica que a² = b² + c²

Radios vectores. Son las rectas que unen cada punto de la elipse con los focos.

Circunferencia principal. Es la que tiene por centro el de la elipse y diámetro 2a

Circunferencias focales. Son las que tienen como centro los focos y radio 2a

Diámetros conjugados. Se llaman así a todo par de diámetros que cumplen con la condición de que cualquier recta secante paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro.

Las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la circunferencia principal.

El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la elipse pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.

Todo rayo que parte de un foco rebota en el otro foco.

HIPÉRBOLA. Es una curva plana, abierta, con dos ramas, y se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos F₁ y F₂ llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a el valor del eje real V₁ V₂

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en su punto medio, centro de la curva.

Simetría. Es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto, respecto del centro.

Ejes. El eje mayor V1 V2 se llama eje real y vale 2a, y el eje menor, perpendicular al anterior en su punto medio, se llama eje virtual.

Distancia focal. La distancia focal F₁ F₂ vale 2c. Los focos están siempre en el eje real.

Radios vectores. Son las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos. Siempre se cumple que PF₁ – PF₂ = 2a

Circunferencia principal. Es la que tiene por centro el centro de la hipérbola y diámetro 2a.

Circunferencias focales. Tienen como centros los focos y radio 2a.

Las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier recta tangente a la hipérbola pertenecen a la circunferencia principal.

El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.

Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. Son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro.

Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

Todo rayo que parte de un foco rebota, de manera que su prolongación pasa por el otro foco.

PARÁBOLA. Es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz.

Tiene un vértice y un foco situados en el eje.

El vértice, como cualquier otro punto de la parábola, equidista de la directriz y del foco.

Es simétrica respecto del eje.

Radios vectores. Son las rectas que unen un punto con el foco y con la directriz.

Circunferencia principal. Es la recta tangente en el vértice, por tanto tiene radio infinito.

Circunferencia focal. Coincide con la propia directriz, por tanto tiene radio infinito.

Parámetro 2p. Es la longitud de la cuerda perpendicular al eje en el foco. Dicha longitud es el doble de la distancia del foco a la directriz.

La proyección ortogonal del foco sobre una tangente pertenece a la circunferencia principal, es decir, a la tangente en el vértice.

La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente.

El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde esta corta al eje de la parábola.

Todo rayo que parte de un foco rebota según rectas paralelas al eje.