09 Sistemas de representación

9.1. Geometría descriptiva

9.1.0. Introducción

La geometría descriptiva es la parte de la geometría que estudia los diversos sistemas de representación y tiene por objeto la representación de figuras espaciales en el plano, así como resolver en el plano diversos problemas que se presentan en el espacio.

En cualquiera de los sistemas de representación a cualquier punto del espacio le corresponde una representación en el plano y viceversa. Esto se conoce como principio de reversibilidad.

9.1.1. Clases de proyección

La proyección de un punto sobre un plano es la intersección del rayo proyectante que pasa por dicho punto con el plano de proyección.

Existen las siguientes clases de proyección:

• Proyección cilíndrica. En este tipo de proyección todos los rayos proyectantes son paralelos a una dirección dada, y por tanto, el centro de proyección es un punto impropio (que está en el infinito). Según la dirección de la proyección que mantengan los rayos proyectantes con respecto al plano de proyección la proyección cilíndrica puede ser de dos tipos:

  • • Proyección cilíndrica ortogonal. Los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección.

    • Proyección cilíndrica oblicua. Los rayos proyectantes son oblicuos respecto al plano de proyección.

• Proyección cónica o central. Todos los rayos proyectantes tienen su origen en un punto fijo llamado centro de proyección.

9.1.2. Sistemas de representación

Los sistemas de representación son los diversos procedimientos utilizados para representar el espacio tridimensional en un plano bidimensional.

Los principales sistemas de representación son:

• Sistema diédrico. En este sistema se utiliza la proyección cilíndrica ortogonal.

• Sistema acotado o de planos acotados. En este sistema también se aplica la proyección cilíndrica ortogonal.

• Sistema axonométrico. También en este sistema se aplica la proyección cilíndrica ortogonal.

• Perspectiva caballera. En la perspectiva caballera se aplica la proyección cilíndrica oblicua.

• Sistema cónico. En este sistema se aplica la proyección cónica.

9.2. Sistema diédrico

9.2.1. Elementos del sistema diédrico

En el sistema diédrico intervienen dos planos de proyección perpendiculares entre sí llamados plano horizontal de proyección (PH) y plano vertical de proyección (PV)

La recta de intersección entre los dos planos se llama línea de tierra. La línea de tierra divide al plano horizontal en dos semiplanos: el semiplano anterior y el semiplano posterior. Así mismo, la línea de tierra también divide al plano vertical en dos semiplanos: el semiplano superior y el semiplano inferior.

Los planos de proyección PH y PV dividen el espacio en cuatro zonas denominadas cuadrantes o diedros. La región comprendida por los semiplanos anterior y superior corresponde al que se denomina primer cuadrante. En el primer cuadrante se sitúa el observador. Todo elemento situado en este primer cuadrante es visto. Los elementos situados en los demás cuadrantes, es decir, por detrás del plano vertical y/o por debajo del plano horizontal, están ocultos.

La denominación de los demás cuadrantes se hace en el sentido levógiro, es decir, en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Por tanto, el segundo cuadrante es el posterior superior; el tercer cuadrante el posterior inferior; y el cuarto cuadrante es el anterior inferior.

9.2.2. La representación en sistema diédrico. Proyecciones

Lo primero que debemos tener en cuenta en este sistema es que nunca vamos a ver representado el elemento, figura u objeto directamente, sino que lo que vemos son sus proyecciones en el PH y en el PV.

Los puntos de cualquier elemento, figura u objeto tridimensional se proyectan perpendicularmente sobre los planos PH y PV de proyección. Luego, se abate un plano sobre el otro (por ejemplo, el PH sobre el PV en sentido dextrógiro) tomando como eje de giro, o charnela, la línea de tierra y de este modo obtenemos la representación de dicho elemento, figura u objeto en este sistema.

9.2.3. Aplicaciones

Este sistema se utiliza ampliamente en diseño industrial, desde diseño de objetos y herramientas hasta el diseño de maquinaria. También se utiliza en arquitectura y en ingeniería de la construcción.

9.3. Sistema axonométrico

9.3.1. Elementos del sistema axonométrico

En el sistema axonométrico se utilizan dos elementos. Por un lado, un triedro trirrectángulo (tres planos perpendiculares entre sí que se cortan según tres ejes X, Y y Z) denominados planos axonométricos. Y por otro lado, un plano de proyección sobre el cual se proyectan ortogonalmente los ejes (rectas de intersección de los tres planos axonométricos) y los elementos que son objeto de la representación. El punto de intersección de los tres ejes, y por tanto de los tres planos, se denomina O, y es considerado el origen del sistema.

Cada uno de los planos axonométricos tiene una denominación. De este modo, el plano XOY se denomina plano horizontal PH, el plano XOZ se denomina plano vertical primero (PV) y el plano YOZ se denomina plano vertical segundo (PW)

En las representaciones llevadas a cabo con este sistema, a diferencia del sistema diédrico, sí que vemos los objetos. Es decir, vemos tanto los elementos y figuras como sus proyecciones en cada uno de los planos axonométricos.

Para facilitar la comprensión de este sistema podemos considerar nuestra hoja de dibujo como el plano de proyección (también llamado plano del cuadro). En el plano de proyección (nuestra hoja de dibujo) la proyección ortogonal del triedro, y por tanto de los ejes X, Y y Z, determinan los planos de proyección. Así mismo, queda determinado el punto O, origen del sistema, punto de intersección de los tres ejes, y por tanto de los tres planos.

9.3.2. La representación en el sistema axonométrico

En este sistema, los elementos objeto de representación se proyectan ortogonalmente sobre los planos axonométricos del triedro para posteriormente proyectarse sobre el plano de proyección (nuestra hoja de dibujo)

Las distintas posiciones que puede llegar a mantener el triedro con respecto al plano de proyección determina el ángulo que cada una de las caras, y por tanto, cada uno de los ejes, forma con el plano de proyección. En cualquier caso, salvo que uno de los planos del triedro se mantuviera paralelo a, o mejor dicho, contenido en, el plano del cuadro -en cuyo caso estaríamos hablando de perspectiva caballera- siempre se va a producir una reducción de las dimensiones reales de las figuras en las dimensiones proyectadas sobre el plano del cuadro. Según sea la posición del triedro con respecto al plano de proyección se puede diferenciar entre tres clases de proyecciones: isométrica (los tres ángulos son iguales), dimétrica (dos ángulos son iguales) y trimétrica (los tres ángulos son distintos).

9.3.3. Aplicaciones

Este sistema se utiliza ampliamente en diseño industrial. Permite ver los objetos en perspectiva. Se utiliza sobre todo la perspectiva isométrica debido a la facilidad que ofrece el cálculo de la escala axonométrica (coeficiente de reducción aplicado a cada uno de los ejes), que en muchas ocasiones ni siquiera se llega a aplicar. Otros campos de aplicación son: diseño de entornos 2D y 3D (video juegos, interiorismo, simulación de espacios, etc.) diseño gráfico (infografía), artes plásticas.

9.4. Perspectiva caballera

9.4.1. Elementos del sistema en la perspectiva caballera

En la perspectiva caballera intervienen los mismos elementos que en el sistema axonométrico, es decir, un triedro trirrectángulo y un plano de proyección.

Existen dos diferencias fundamentales con el sistema axonométrico: una diferencia es que en este caso uno de los planos axonométricos coincide con el plano de proyección. Otra diferencia es que la proyección sobre el plano del cuadro es oblicua. Esto se debe a que, si no fuera así, y la proyección fuera ortogonal, las proyecciones de los otros dos planos de proyección sobre el plano del cuadro coincidiría con los ejes proyectados, confundiéndose con estos.

9.4.2. La representación en perspectiva caballera

Para representar una figura del espacio, o un elemento cualquiera, pongamos un punto P, primero se proyecta este perpendicularmente sobre los planos axonométricos del triedro, y luego se proyecta sobre el plano del cuadro según una dirección y un ángulo previamente determinados. La dirección determina la proyección del eje producido por la intersección de los dos planos que permanecen perpendiculares al plano de proyección. El ángulo que forma esta dirección con el plano del cuadro determina la reducción que se produce en la proyección y por tanto en la representación.

9.4.3. Aplicaciones

Al igual que las perspectivas axonométricas este sistema se utiliza ampliamente en diseño industrial, ya que permite ver los objetos en perspectiva. Otros campos de aplicación son: diseño de entornos 2D y 3D (video juegos, interiorismo, simulación de espacios, etc.) artes plásticas y diseño gráfico (infografía).

9.5. Sistema de planos acotados

9.5.1. Elementos del sistema de planos acotados

En el sistema acotado interviene un solo plano de proyección. En este plano se proyectan ortogonalmente los elementos de la representación.

El sistema de planos acotados se considera un caso particular del sistema diédrico, ya que la proyección vertical se sustituye por la indicación de la cota.

9.5.2. La representación en el sistema de planos acotados

Para representar un punto en el espacio se proyecta este perpendicularmente sobre un plano de proyección horizontal. Junto a la letra que representa la proyección se coloca entre paréntesis el valor de la cota.

9.5.3. Aplicaciones

Este sistema se utiliza sobre todo en topografía (estudios de terrenos: desmontes, trazados de caminos, vías, carreteras, etc.) También se utiliza en arquitectura, sobre todo para la resolución de cubiertas de edificios (tejados y terrazas).

9.6. Sistema cónico

9.6.2. La representación en el sistema cónico

Un punto P del espacio se proyecta perpendicularmente sobre el plano geometral. Desde el punto de vista V se proyectan sobre el plano del cuadro, mediante rayos proyectantes, tanto el punto del espacio como su proyección en el plano geometral.

Una buena forma de hacerse una idea de cómo funciona este sistema es imaginar que interponemos un vidrio entre el objeto y nosotros. Luego, desde un punto fijo (punto de vista), dibujamos sobre el vidrio el objeto. El vidrio representa el plano del cuadro, que se interpone entre el objeto y nuestro punto de vista.

9.6.3. Aplicaciones

Es el sistema de representación que más se aproxima a la forma de visión del ser humano. Se desarrolló plenamente durante el periodo del Renacimiento. Desde entonces se ha utilizado ampliamente en Europa en diversos campos de las artes plásticas, especialmente en la pintura. Se utiliza principalmente para dar una visión lo más aproximada posible a como algo se ve o se vería en la realidad. Por esta misma razón también ha sido muy utilizada en la arquitectura y también, aunque en menor medida, en la ingeniería civil.

Sin embargo, este sistema se utiliza poco en la industria y en la ingeniería industrial o mecánica debido a la dificultad que puede entrañar su interpretación en un sentido operativo. Deducir e interpretar medidas en una perspectiva cónica es posible, pero es muy poco funcional y muy tedioso.

En la actualidad, aparte de los campos tradicionales de aplicación, tiene muchas aplicaciones en diseño de entornos 3D (videojuegos, simulación y recreación de espacios, realidad virtual, etc.)