03 Trazados de polígonos
3. 1. Triángulos
3. 1. 1. Definición, propiedades y clasificación
Definición
Triángulo es una superficie cerrada y plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección de las rectas se llaman vértices y los segmentos comprendidos entre los vértices se denominan lados del triángulo.
Los vértices se designan con mayúsculas latinas en sentido levógiro. Los lados se designan con letras minúsculas latinas, utilizando para ello la misma letra del vértice opuesto. Los ángulos se designan con letras griegas (alfa para el A, beta para el B y gamma para el C), o bien con las mismas letras de los vértices.
Propiedades
a) La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo vale 180º.
b) Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia.
c) En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de sus catetos.
Clasificación
a) Según sus lados:
Equilátero (1): los tres lados son iguales.
Isósceles (2): dos lados son iguales y el tercero es distinto.
Escaleno (3): los tres lados son distintos.
b) Según sus ángulos:
Rectángulo (4): un ángulo es recto (= 90º)
Acutángulo (5): los tres ángulos son agudos (< 90º)
Obtusángulo (6): un ángulo es obtuso (> 90º)
Perímetro y área de un triángulo
El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados: a + b + c
El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura entre dos: (b x a) / 2 En un triángulo, cualquiera de sus lados puede ser tomado como base.
Conviene recordar que perímetro y área son dos magnitudes distintas que no guardan relación. Podremos observar diversas figuras cerradas y planas, entre ellas los polígonos, y por tanto los triángulos, que tienen igual perímetro pero distinta área, del mismo modo que figuras de igual área y distinto perímetro.
Rectas y puntos notables de los triángulos
Altura. Altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. Un triángulo tiene tres alturas. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Mediana. Mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. El baricentro de un triángulo es el centro de gravedad del mismo y está a una distancia de los vértices igual a los dos tercios de la longitud total de la correspondiente mediana.
Mediatriz. Mediatriz es la perpendicular trazada por el punto medio de un lado. Un triángulo tiene tres mediatrices. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo.
Bisectriz. Bisectriz de un triángulo es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un triángulo tiene tres bisectrices. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.
3. 2. Cuadriláteros
3. 2. 1. Definición, propiedades y clasificación
Definición
Un cuadrilátero es la superficie plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a dos. También se puede definir como un polígono de cuatro lados. Los puntos de intersección de las rectas se llaman vértices. Los segmentos entre los vértices se llaman lados. Los segmentos que van de un vértice al opuesto se llaman diagonales.
En un cuadrilátero los vértices se designan con letras mayúsculas (A, B, C, D) y los lados con minúsculas.
Propiedades
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero vale 360º
Clasificación
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos. Tienen sus lados opuestos paralelos. Son los siguientes:
Cuadrado (1). Tiene los cuatro lados iguales. Los cuatro ángulos miden 90º. Las diagonales son iguales, perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio.
Rectángulo (2). Tiene los lados opuestos iguales. Los cuatro ángulos miden 90º. Las diagonales son iguales, oblicuas entre sí y se cortan en su punto medio.
Rombo (3). Tiene los cuatro lados iguales. Los ángulos opuestos son iguales. Tiene dos diagonales, una mayor y otra menor. Las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
Romboide (4). Los lados y ángulos opuestos son iguales. Tiene dos diagonales, una mayor y otra menor. Las diagonales son oblicuas y se cortan en su punto medio.
Trapecios. Estos cuadriláteros tienen sólo dos lados paralelos. Los lados paralelos reciben el nombre de bases. Los trapecios se clasifican en:
Isósceles (5). Los lados que no son bases son iguales. También tiene los ángulos iguales dos a dos. Tiene un eje de simetría.
Rectángulo (6). Tiene dos ángulos rectos, coincidiendo la altura con uno de sus lados.
Escaleno (7). No tiene ninguna característica de los dos anteriores. Por tanto, los cuatro lados y los cuatro ángulos son distintos y ninguno es recto.
Trapezoides (8). Son cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos y sus cuatro ángulos y lados son distintos.
Perímetro y área de los cuadriláteros
3. 2. 12. Construcción de un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales
3. 3. Polígonos regulares
3. 3. 1. Definición, propiedades y clasificación
Definición. Un polígono es una figura cerrada y plana que tiene varios lados y varios ángulos. Los puntos de intersección de los lados se llaman vértices.
Si todos los lados y ángulos son iguales el polígono se llama regular. Cuando solo los lados son iguales el polígono se llama equilátero. Cuando solo los ángulos son iguales el polígono se llama equiángulo. Cuando un polígono no tiene ni los lados ni los ángulos iguales se llama irregular.
Un polígono es convexo si al trazar cualquier recta solo lo corta en dos puntos. El polígono es cóncavo si existe alguna recta que la corte en más de dos puntos.
Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están en ella. Un polígono está circunscrito si todos sus lados son tangentes a la circunferencia.
Propiedades. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180º por el número de lados menos dos:
a = 180 x (n - 2)
La suma de los ángulos externos de un polígono es igual a 360º
El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a la mitad del número de lados por el número de lados menos tres.
nº = n (n - 3) : 2
Clasificación. Según el número de lados se denominan del siguiente modo:
Triángulo (3 lados). Cuadrilátero (4 lados). Pentágono (5 lados). Hexágono (6 lados). Heptágono (7 lados). Octógono (8 lados). Eneágono (9 lados). Decágono (10 lados). Undecágono (11 lados). Dodecágono (12 lados). Tridecágono (13 lados). Tetradecágono (14 lados). Pentadecágono (15 lados).
El triángulo regular se llama equilátero. El cuadrilátero regular se llama cuadrado.
A partir del dodecágono los polígonos se suelen nombrar indicando simplemente el número de lados que tienen.
Líneas notables. En los polígono podemos identificar las siguientes líneas notables:
Radio: es la recta que en un polígono regular va del centro a un vértice cualquiera. Coincide con el radio de la circunferencia circunscrita.
Apotema: en un polígono regular es la recta que une el centro con el punto medio de uno de sus lados. Coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono.
Altura: en un polígono regular con un número de lados impar es la recta perpendicular a uno de los lados trazada desde el vértice opuesto. En polígonos con un número par de lados, la altura es la distancia entre lados opuestos paralelos.
Diagonal: es la recta que une dos vértices no consecutivos.
Diagonal principal: en los polígonos de un número par de lados es la recta que une dos vértices opuestos.
Perímetro: es la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono.