04. Proporcionalidad y semejanza. Escalas
4. 1. Proporcionalidad
4. 1. 1. Teorema de Tales
El teorema de Tales, llamado así en memoria de Tales de Mileto (624 - 546 a. C.), es la base del estudio de la proporcionalidad y la semejanza.
Cuando dos rectas concurrentes (r y s) son cortadas por rectas paralelas obtenemos divisiones directamente proporcionales.
4. 1. 4. Construcción del segmento media proporcional entre dos segmentos dados
Este caso es una aplicación directa del teorema de la altura.
4. 1. 7. Sección áurea de un segmento
4. 2. Igualdad
4. 3. Semejanza
Dos figuras son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales.
La relación de proporcionalidad que se establece entre dos figuras -o elementos geométricos- semejantes, se denomina razón de semejanza. Dicha razón es el cociente que se obtiene al dividir entre si las magnitudes homólogas.
4. 4. Escalas
4. 4. 1. Introducción. Generalidades
Las escalas pueden considerarse como la aplicación práctica de la semejanza.
La escala es la relación de proporción que existe entre dos figuras, siendo una de ellas la del dibujo (representación) y la otra la realidad (referente).
Esta relación, al igual que ocurre con la semejanza, se puede representar mediante una fracción en la que el numerador representa la medida del dibujo y el denominador la medida de la realidad. Por tanto, escala = Dibujo/Realidad
El cociente de esta fracción es lo que denominaremos coeficiente de la escala. Ese coeficiente puede ser de ampliación (cuando el cociente es mayor que la unidad), de igualdad (cuando el cociente es igual a uno), de reducción (cuando el cociente es menor que la unidad). De aquí se deducen los diferentes tipos de escalas, que pueden ser:
De reducción: reducen el tamaño del objeto real al dibujarlo (el numerador -Dibujo- es menor que el denominador -Realidad-)
De ampliación: aumenta el tamaño del objeto real al dibujarlo (el numerador -Dibujo- es mayor que el denominador -Realidad-)
De tamaño natural (escala natural): el dibujo y el objeto real tienen las mismas medidas (se representa por medio de la fracción 1/1)
4. 4. 2. Operaciones habituales con escalas
Para dibujar un objeto a una determinada escala, se toma la medida del objeto real que se pretende dibujar (referente) y dicha medida se multiplica por el numerador de la escala; el resultado de esta operación se divide por el denominador. La medida obtenida es la que se lleva al dibujo.
Otra forma consiste en hallar el coeficiente (cociente de la división) y multiplicar cada medida del objeto que pretendemos dibujar por dicho coeficiente.
Planteamientos (casos) más frecuentes:
Determinar a qué escala está dibujada una figura a partir de una cota
Dada una figura a escala x, dibujarla a escala y
Dada una figura definida por una cota x, dibujarla a escala y
Para resolver estos tres casos, consulta la siguiente presentación:
4. 4. 3. Escala gráfica
La escala gráfica o escala volante consiste en la construcción de una regla ajustada a la escala que estemos utilizando y que nos permite dibujar o tomar medidas directamente con ella evitando así realizar múltiples operaciones.
Para la construcción de una escala volante sigue los pasos que se pueden ver en el ejemplo de la siguiente presentación: