Tema 04. Transformaciones geométricas. Homología, afinidad e inversión

Introducción

Los elementos geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano.

Las formas geométricas son las formadas con dichos elementos.

Razón simple de tres puntos

Dados tres puntos P, A y B en una recta orientada, siendo dos de ellos, A y B, fijos, se llama razón simple a la relación: PA/PB

Razón doble de cuatro puntos

Dados cuatro puntos M, N, A y B, en una recta orientada, siendo dos de ellos, A y B, puntos fijos, se llama razón doble de cuatro puntos al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos, de modo que k = MA/MB:NA/NB

A cada grupo de cuatro puntos se le denomina cuaterna anarmónica. Si la razón doble de los cuatro puntos vale -1, los cuatro puntos forman una cuaterna armónica.

Transformaciones geométricas

Una transformación geométrica es una correspondencia o aplicación entre elementos de dos formas geométricas.

Una transformación proyectiva es aquella en la que cuatro puntos en línea recta se transforman en otros cuatro puntos en línea recta, de modo que la razón doble de los cuatro primeros es igual a la razón doble de los cuatro segundos.

Dos formas son proyectivas si una puede obtenerse de la otra mediante proyecciones o secciones.

Homografía. Es la correspondencia entre dos formas geométricas, de tal modo que a un elemento geométrico de una forma le corresponde un elemento geométrico del mismo tipo de la otra forma. Es decir, a un punto le corresponde un punto, a una recta le corresponde una recta, a un plano otro plano, etc. y siempre según un mismo principio geométrico que podemos aplicar o deducir. Transformaciones geométricas homográficas son: la homología, la afinidad, la homotecia, la translación, la simetría y el giro.

Correlación. Es otro tipo de transformación geométrica en la que se produce una correspondencia entre elementos de distinta especie. Por ejemplo, cuando a un punto le corresponde una recta, a una recta le corresponde un plano, etc.

Homología

La homología plana es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes:

• Dos puntos homólogos están alineados con un punto fijo llamado centro de homología.

• Dos rectas homólogas se cortan en una recta fija llamada eje de homología. El eje, por tanto, es el lugar geométrico de los puntos que son homólogos de sí mismos y que por ello son llamados puntos dobles.

Razón de homología. Es la razón doble que forman dos puntos homólogos A y A', el centro de homología O, y el punto P de intersección de la recta AA' con el eje e. De modo que k = OA/OA':PA/PA'

Construcción de figuras homólogas

Una homología queda determinada a partir de los siguientes datos:

• El eje, el centro y un par de puntos homólogos.

• El centro y dos pares de rectas homólogas.

• Un punto doble y dos pares de puntos homólogos.

• El centro, el eje y una recta límite.

• El centro, una recta límite y dos puntos homólogos.

• El centro, el eje y el coeficiente de homología.

• El centro y las dos rectas límite.

• Dos figuras homólogas.

Cónicas homólogas de la circunferencia

La figura homóloga de una circunferencia es una cónica que depende de la posición relativa de la misma y de la recta límite que tomemos como referencia.

• Si la recta límite es exterior a la circunferencia, la figura homóloga es una elipse.

• Si la recta límite es tangente a la circunferencia, la figura homóloga es una parábola.

• Si la recta límite es secante a la circunferencia, la figura homóloga es una hipérbola.

Principios

La tangente común a una cónica y a su homóloga pasa por el vértice de homología.

Si dos cónicas homológicas se cortan, los puntos de intersección son puntos dobles que se encuentran en el eje. Si son tangentes, el eje es la recta tangente común a ambas cónicas que pasa por dicho punto.

En una homología, el centro de una cónica se transforma en el polo de la recta límite respecto de la figura homológica.

Afinidad

La afinidad es una homología de centro impropio, es decir, que está en el infinito.

La afinidad es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes:

• La recta que une dos puntos afines es paralela a una dirección d de afinidad.

• Dos rectas afines no paralelas se cortan en un punto del eje de afinidad, que será punto doble.

En afinidad no existen rectas límite.

Razón de afinidad

k = PA'/PA

Cuando los dos puntos A y A' están al mismo lado del eje el coeficiente de afinidad es positivo.

Cuando los dos puntos A y A' están a distinto lado del eje el coeficiente de afinidad es negativo.

Inversión

La inversión es una transformación que cumple las siguientes leyes:

• Dos puntos inversos están alineados con otro fijo llamado centro de inversión.

• El producto de distancias del centro de inversión a dos puntos inversos es constante. (Repasar potencia, centro radical y ejes radicales)

Potencia de inversión. Se llama potencia p de un punto O respecto de la circunferencia de centro C al producto:

p = OA x OA'

De este modo, todos los pares de puntos que se obtienen al trazar desde un punto O rectas secantes a una circunferencia, tal que los puntos obtenidos por tangencia, son inversos respecto a dicho punto O, que es centro de inversión.

Cuando el centro O es exterior a la circunferencia la potencia es positiva, ya que los pares de puntos inversos se encuentran en un mismo lado del centro de inversión (o sea, los puntos inversos están en la misma semirrecta limitada por O). En cambio, cuando el centro de inversión O sea interior a la circunferencia los pares de puntos se encontrarán a distinto lado de dicho centro y por ello la potencia será negativa (o sea, los puntos inversos están en distinta semirrecta y por ello en sentido contrario con respecto a O).

Propiedades de una inversión:

• Dos pares de puntos inversos determinan una circunferencia.

• Dos rectas inversas son antiparalelas, es decir, en el cuadrilátero que forman al cortarse, cada ángulo interior es igual al exterior del vértice opuesto, o lo que es lo mismo, cada ángulo es complementario del opuesto.

Figuras inversas

Una inversión queda determinada por:

• El centro de inversión y un par de puntos inversos.

• El centro de inversión y la potencia de inversión.

• Dos figuras inversas.

Circunferencia que pasa por el centro de inversión

La figura inversa de una circunferencia de centro C que pasa por el centro de inversión O es una recta perpendicular a la recta que pasa por el centro de inversión O y por el centro C de la circunferencia.

De modo recíproco, la figura inversa de una recta r que no pasa por el centro de inversión O es una circunferencia que sí pasa por dicho centro.

Circunferencia que no pasa por el centro de inversión

La figura inversa de una circunferencia C que no pasa por el centro de inversión O es otra circunferencia C' y homotética de la anterior, cuyo centro de homotecia es el centro de inversión O y cuya razón de homotecia es igual al cociente entre la potencia de inversión y la potencia de O respecto de la circunferencia C.