08 Curvas cónicas
8.1. Curvas cónicas
8.1.0. Introducción. El cono
Recordamos:
El cono es un cuerpo geométrico de revolución. Un cuerpo de revolución es aquel que se genera haciendo girar una figura plana alrededor de un eje. Si hacemos girar una recta r alrededor de un eje e al cual corta, se genera una superficie infinita con un vértice común que es denominada superficie cónica.
La sección perimetral que produce un cono en un plano perpendicular a su eje se le denomina directriz del cono, y el área que esta limita es conocida como base del cono. A cada una de los segmentos comprendidos entre el vértice y la directriz se le denomina generatriz. Por esta razón, también se define al cono como una pirámide de infinito número de aristas.
La porción de espacio comprendida entre el vértice de una superficie cónica y un plano perpendicular a su eje se llama cono recto. Un cono recto de revolución se puede generar haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La directriz de un cono recto es una circunferencia.
8.1.1. Secciones producidas por un plano en un cono
Las curvas cónicas son aquellas que se obtienen cuando un plano secciona a un cono recto. Obtendremos distintas curvas según sea la posición del plano secante respecto del eje del cono.
En un cono recto de revolución de dos ramas obtenemos las siguientes curvas según sea la sección que produzca el plano secante:
Circunferencia. es la sección que produce un plano en un cono cuando dicho plano es perpendicular al eje del cono y no pasa por el vértice.
Elipse. Se obtiene cuando el plano secante que corta a todas las generatrices sin pasar por el vértice, forma con el eje del cono un ángulo mayor que el semiángulo en el vértice del cono. Si consideramos la elipse obtenida con dicho plano secante como directriz del cono, dicho cono es denominado cono oblicuo, ya que el eje queda en posición oblicua respecto al plano que genera la directriz.
Hipérbola. Se obtiene cuando el plano secante que corta a las dos ramas del cono sin pasar por el vértice, forma con el eje del cono un ángulo menor que el semiángulo en el vértice del cono. La curva obtenida es abierta y de dos ramas.
Parábola. Se obtiene cuando el plano secante que corta al cono, sin pasar por el vértice, forma con el eje del cono el mismo ángulo que el semiángulo en el vértice, o sea, que el plano secante es paralelo a una generatriz. La curva es abierta.
8.1.2. Focos y directrices
(Falta completar)
8.1.3. Circunferencia principal y circunferencias focales
(Falta completar)
8.2. Elipse
8.2.1. Definición y propiedades
La elipse es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos que cumplen con la condición de que la suma de distancias a otros dos puntos fijos F y F' llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor de la elipse.
Propiedades y características
La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el centro de la curva.
Es simétrica respecto a los dos ejes.
El eje mayor es el eje real y vale 2a, y el eje menor es el eje virtual y vale 2b.
Los focos siempre están en el eje real.
Los focos se encuentran a la distancia a de los extremos del eje menor.
La distancia entre los focos o distancia focal vale 2c.
Los radios vectores son las rectas que unen cada punto de la elipse con los focos.
La circunferencia principal es la que tiene por centro el de la elipse y diámetro 2a.
Las circunferencias focales tienen como centro los focos y de radio 2a.
En la elipse siempre se verifica que a2 = b2 + c2 (a x a = b x b + c x c)
Diámetros conjugados son todo par de diámetros que cumplen con la condición de que cualquier recta secante paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro.
Respecto a las tangencias:
Las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la circunferencia principal.
El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la elipse pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.
Todo rayo que parte de un foco rebota en el otro foco.
Construcción de la elipse dados eje mayor y menor
Método 1
(Y en esta misma presentación: cómo dibujar una recta tangente dado el punto de tangencia en la curva)
Construcción de la elipse
Método 2 (método de afinidad)
(Y en esta misma presentación: obtención de la elipse a partir de dos diámetros conjugados)
8.3. Hipérbola
8.3.1. Definición y propiedades
La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas, y se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a el valor del eje real (distancia entre los vértices)
Propiedades y características:
Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en su punto medio, que es el centro de la curva.
Es simétrica respecto de los dos ejes.
El eje en el que se encuentran los focos se denomina eje real y vale 2a. El eje perpendicular a este, que pasa por su punto medio, se denomina eje virtual.
La distancia focal (distancia entre focos) vale 2c.
Los radios vectores son los segmentos que unen un punto de la curva con los focos, cumpliéndose que PF1 - PF2 = 2a
La circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola (punto de intersección de los ejes real y virtual) y diámetro 2a.
Las circunferencias focales (cf y c'f) tienen como centros los focos y radio 2a.
Respecto a las tangencias:
Las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier recta tangente a la hipérbola pertenecen a la circunferencia principal.
El punto simétrico de un foco respecto de cualquier tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.
Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la misma en el infinito. Las asíntotas se cortan en el centro de la hipérbola y son simétricas respecto de los ejes. Se denomina hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.
Todo rayo que parte de un foco rebota de manera que su prolongación pasa por el otro foco.
Hipérbola. Construcción dado el eje real, los focos y la distancia entre los vértices
(Y en esta misma presentación: cómo dibujar una recta tangente dado el punto de tangencia en la curva)
8.4. Parábola
8.4.1. Definición y propiedades
La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Propiedades y características:
La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz.
En el eje se encuentran el vértice y el foco.
El vértice, al igual que cualquier otro punto de la parábola, equidista del foco y de la directriz.
La parábola es simétrica respecto del eje.
Los radios vectores son los segmentos que unen un punto de la curva con el foco y con la directriz (perpendicularmente a esta).
La circunferencia principal de la parábola tiene radio infinito y es la recta tangente en el vértice.
La circunferencia focal también tiene radio infinito y coincide con la propia directriz.
El parámetro 2p es la longitud de la cuerda perpendicular al eje en el foco. Dicha longitud es el doble de la distancia del foco a la directriz, por tanto, p es igual a la distancia que existe entre la directriz y el foco.
Respecto a las tangencias:
La proyección ortogonal del foco sobre una recta tangente es pertenece a la circunferencia principal, es decir, a la tangente en el vértice.
La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada recta tangente.
El foco equidista de del punto de tangencia de una recta tangente y del punto donde esta corta al eje de la parábola.
Todo rayo que parte del foco rebota en la curva siguiendo una trayectoria paralela al eje.
Construcción de la parábola dadas la directriz, el eje y el foco
(Y en esta misma presentación: cómo dibujar una recta tangente dado el punto de tangencia en la curva)