05 Transformaciones
5. 1. Series lineales
5. 1. 1. Introducción
Formas geométricas son las formadas con los elementos geométricos: el punto, la recta y el plano.
Mediante las formas geométricas se obtienen las figuras geométricas. Las figuras geométricas son superficies delimitadas por líneas (curvas o rectas) o espacios delimitados por superficies. En el primer caso, se hace referencia a polígonos, circunferencias, diferentes tipos de curvas, etc. En el segundo caso se hace referencia a figuras tridimensionales, llamados cuerpos geométricos, tales como los poliedros, prismas, pirámides, conos, cilindros, etc.
Para definir y clasificar las figuras geométricas, se recurre a los elementos geométricos fundamentales (punto, recta y plano), en combinación con el concepto de espacio. A partir de todo ello es posible obtener las diferentes figuras geométricas, mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes.
Comenzamos con el estudio de las series lineales: razón simple de tres puntos situados en una línea recta orientada (razón positiva y negativa) y razón doble de cuatro puntos situados en una línea recta orientada (razón positiva y negativa: conocidas como cuaterna anarmónica; y razón negativa con valor -1: llamada cuaterna armónica)
5. 1. 2. Razón simple de tres puntos
Se llama razón simple de tres puntos alineados P, A y B a la relación:
h = (PAB) = PA/PB
Cuando la razón es negativa el punto P que obtenemos queda situado entre los dos conocidos (A y B). Ejemplo:
Demostración del procedimiento: como se puede observar en el dibujo, la inclinación de las rectas que pasan por A y por B es arbitraria, siendo la única condición que sean paralelas. Lo mismo sucede con el ángulo de inclinación de las semirrectas con vértice en los puntos que corresponden a las medidas tomadas en la recta r desde A y desde B y que son múltiplos de numerador y denominador de la fracción que expresa la razón y cuya única condición es que sean paralelas entre si. Como se puede observar en el dibujo, se obtienen dos triángulos semejantes. La recta auxiliar que pasa por los vértices de dichos triángulos, exteriores a la recta r, determina el punto P.
Otros ejemplos: Dados los puntos A y B en una recta orientada, hallar un punto P tal que la razón simple (ABP) sea igual a 2/3 (en azul, a la izquierda)
Dados los puntos A y B en una recta orientada, hallar el punto P de modo que la razón simple (ABP) sea igual a 3/2 (en negro, a la derecha)
5. 1. 3. Razón doble de cuatro puntos
Se llama razón doble (o anarmónica) de cuatro puntos alineados M, N, A y B al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos:
k = (MNAB) = (MAB)/(NAB) = (MA/MB : NA/NB)
Razón positiva:
Razón negativa. Cuando la razón en negativa, el punto que obtenemos (D) queda situado entre los puntos A y B
5. 2. Transformaciones geométricas
5. 2. 1. Introducción
Se denomina homografía a toda transformación proyectiva que determina una correspondencia entre dos figuras geométricas planas, de forma que a cada uno de los puntos y las rectas de una de ellas le corresponden, respectivamente, un punto y una recta de la otra.
Transformaciones geométricas. Una transformación geométrica es una correspondencia entre elementos de dos formas geométricas.
Transformación proyectiva. Es una transformación tal que cuatro puntos alineados se transforman en otros cuatro puntos, de tal modo que la razón doble de los cuatro primeros es igual a la razón doble de los cuatro segundos.
5. 2. 2. Homotecia
La homotecia es una transformación que cumple las siguientes leyes:
Dos puntos homotéticos (A y A') están alineados con un punto fijo (O) llamado centro de homotecia.
Dos rectas homotéticas (a y a') son paralelas.
Por tanto, en una homotecia una figura se transforma variando de tamaño, pero manteniendo tanto la alineación de los puntos homotéticos respecto del centro de homotecia como el paralelismo de los lados homotéticos. Dos figuras homotéticas tienen la misma orientación y sus lados son paralelos.
Homotecia y semejanza. Dos figuras homotéticas son siempre semejantes. Sin embargo, dos figuras semejantes no tienen por qué ser homotéticas (aunque pueden ser movidas en el plano hasta llegar a serlo). A efectos prácticos en una homotecia se opera igual que en una semejanza. La diferencia estriba en que en una homotecia siempre hay un centro de homotecia definido, mientras que en la semejanza se puede utilizar cualquier punto. Es por ello que cuando se plantea un problema de homotecia siempre se da el centro o los datos necesarios para calcularlo, mientras que en la semejanza no se tiene por qué dar ese dato, pudiéndose elegir el punto más conveniente de forma arbitraria (es habitual escoger uno de los vértices de la figura, aunque se puede utilizar cualquier punto, tanto interior como exterior a la figura).
Homotecia y homología. Se puede considerar a la homotecia como una homología particular de eje impropio, con centro en el de homología ( llamado en el caso de las homotecias "centro de homotecia"). Cuando las secciones planas de una pirámide o de un cono se producen por medio de dos planos sectores paralelos se determina una homotecia. La homología es una de las formas de transformación homográfica que estudiaremos más adelante, en el segundo curso.
Por el momento, conviene aclarar que, en un sentido general, en geometría, la homología es la relación que establecen los distintos elementos geométricos (lados, cuando se trata de figuras) que están situados en igual orden en todas las figuras que se califican como semejantes. Por tanto, decimos que dos puntos son homólogos cuando uno ha sido obtenido a partir del otro por medio de una transformación geométrica, al tiempo que se observa una relación de identidad o de correspondencia entre los mismos. Los puntos homólogos se nombran con la misma letra, diferenciando el obtenido mediante transformación con el signo prima, y añadiendo un nuevo signo prima por cada nuevo punto obtenido a partir del anterior. En estos casos hablamos de puntos homólogos. Por ejemplo: A, A', A'', etc.
Razón de homotecia
La razón de homotecia (o coeficiente de homotecia) es la razón entre las distancias que hay desde el centro de homotecia (O) hasta los puntos homotéticos (A y A') de modo que k = OA/OA' (Cuando la figura homotética obtenida se reduce) y k= OA'/OA (Cuando la figura homotética obtenida se amplía)
Si el coeficiente es positivo, ambos puntos están al mismo lado del centro de homotecia y si es negativo, están a distinto lado.
A continuación, un ejemplo de homotecia con razón positiva k = 1'5:
Determinación de una homotecia
Una homotecia queda definida por:
El centro y dos puntos homotéticos.
El centro y la razón de homotecia.
Dos figuras homotéticas.
5. 2. 3. Simetría central
La simetría central es una homotecia con razón k = -1.
Dos puntos simétricos A y A' están alineados con un punto O fijo llamado centro de simetría y están a distinto lado e igual distancia de él (OA = - OA')
Propiedades de la simetría central. Dos figuras ABC y A'B'C' simétricas respecto de un punto O, llamado centro de simetría, tienen las siguientes propiedades:
Los segmentos simétricos son paralelos y están orientados en sentido contrario.
La distancia de un punto al centro de simetría es igual que la de su simétrico a dicho centro.
5. 2. 4. Simetría axial
La simetría axial es una afinidad que tiene la dirección perpendicular al eje y cuyo coeficiente es igual a -1.
En una simetría axial la recta que une dos puntos simétricos A y A' es perpendicular a un eje e, llamado eje de simetría, estando ambos puntos a distinto lado e igual distancia de dicho eje, alineados en una recta perpendicular a este. De modo que A0A = -A0A' , siendo A0 el punto de intersección en el eje de simetría de la recta perpendicular al mismo que une los puntos simétricos A y A'.
5. 2. 5. Traslación
La traslación es una homología con el eje y el centro en el infinito. Las secciones planas de un prisma o de un cilindro producidas en el espacio por medio de dos planos sectores paralelos se relacionan por una traslación. En una traslación todos los puntos de una figura se trasladan la misma distancia según una misma dirección y sentido. La traslación es una transformación en la que se cumplen los siguientes principios:
La recta que une dos puntos homólogos A y A' es paralela a una dirección de traslación d.
Dos rectas homólogas a y a' son paralelas.
5. 2. 6. Giro
El giro en el plano es una transformación homográfica definida por un punto fijo O, llamado centro de giro, un ángulo alfa y un sentido de giro dado, de modo que un punto A se transforma en un punto A' cuando la distancia OA es igual a la distancia OA', el ángulo AOA' es igual al ángulo alfa determinado y el sentido de giro AA' es el indicado.
La distancia de un punto girado A' a un punto fijo O, llamado centro de giro, es la misma que la distancia del punto A a dicho punto fijo, y por lo tanto es constante.
El ángulo que se forma al unir el punto girado A' y el punto A con el centro de giro, y su sentido, es igual a un ángulo dado, llamado ángulo de giro (ángulo AOA')
El centro de giro O es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen los puntos homólogos: AA', BB', etc.