02 Trazados fundamentales
Introducción
El punto es la unidad mínima de representación gráfica y se representa como la intersección de dos rectas. Los puntos se nombran con letras mayúsculas. (a)
Se denomina recta a una sucesión ilimitada de puntos en la misma dirección. Las rectas se nombran con letras minúsculas. (b)
Un punto en una recta define dos semirrectas. Por tanto, la semirrecta es una recta limitada en uno de sus extremos. (c)
Dos puntos en una recta definen un segmento de la misma. (d)
Lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano o del espacio que tienen la misma propiedad. (Por ej.: "La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos que son los extremos de un segmento"
2. 1. Paralelismo
2. 1. 1. Definición
Dos rectas coplanarias, es decir, que pertenecen a un mismo plano, son paralelas cuando su punto de intersección se encuentra en el infinito. Se dice entonces que el punto es impropio.
2. 2. Perpendicularidad
2. 2. 1. Definición
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo recto (90º)
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo trazada por su punto medio. La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.
2.3. Segmentos
2.4. Ángulos
2.4.1. Definiciones
Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que determinan dos semirrectas con un origen común. Las semirrectas se llaman lados del ángulo y el punto común se llama vértice.
Ángulo agudo es el que mide menos de 90º (a)
Ángulo recto es el que mide 90º (b)
Ángulo obtuso es el que mide más de 90º (c)
Ángulo llano es el que mide 180º (d)
Ángulo cóncavo es el mayor de los dos ángulos que determinan los dos lados del mismo (e)
Ángulo convexo es el menor de los dos ángulos que determinan los dos lados del mismo (e)
Ángulos suplementarios son los que suman 180º
Ángulos complementarios son los que suman 90º
Sean dos rectas concurrentes (r y s) y una secante a ambas (t) identificamos los siguientes ángulos:
Ángulos externos: 1, 2, 7 y 8
Ángulos internos: 3, 4, 5 y 6
Ángulos adyacentes externos: 1-2 y 7-8
Ángulos adyacentes internos: 3-4 y 5-6
Ángulos alternos externos: 1-7 y 2-8
Ángulos alternos internos: 3-5 y 4-6
Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que divide al mismo en dos ángulos iguales. La bisectriz es el lugar geométrico del plano de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.
Observamos las siguientes propiedades de los ángulos:
Dos ángulos cuyos lados son paralelos son iguales.
Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares son iguales.
2.4.8. Bisectrices de ángulos mixtilíneos y ángulos curvilíneos
2.4.9. Otras construcciones de ángulos
Con el compás
Con escuadra y cartabón
2.5. Circunferencia
2.5.1. Definiciones
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Arco es una porción de circunferencia
Círculo es la región del plano que es interior a la circunferencia
Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios (a)
Segmento circular es la parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco (b)
2.5.2. Rectas de una circunferencia
Radio (r) es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia
Diámetro (d) es el segmento que, pasando por el centro de la misma, une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. La longitud del diámetro es igual a dos radios.
Cuerda (c) es el segmento que determina una recta secante que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Tangente (t) es la recta que tiene un sólo punto común con la circunferencia. La tangente y el radio en el punto de tangencia son perpendiculares.
Recta exterior (e) a una circunferencia es la recta que no es ni secante ni tangente.
2.5.3. Ángulos de una circunferencia
Ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro de la circunferencia.
2.5.4. Arco capaz
Se llama arco capaz de un ángulo dado respecto a un segmento también conocido, al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se observa dicho segmento bajo dicho ángulo.
Arco capaz para observar la hipotenusa de un triángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo el centro del arco capaz para observar la hipotenusa se encuentra en el punto medio de la misma y el diámetro del arco es igual a la longitud de la hipotenusa.
Arco capaz para observar dos puntos (o un segmento) bajo un determinado ángulo.
2.6. Potencia
2.6.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Se denomina potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias desde dicho punto con los puntos de intersección de cualquier recta secante con dicha circunferencia, o al producto de la distancia que hay desde dicho punto hasta cualquiera de los dos puntos de tangencia en la circunferencia.
Observa el dibujo. Si por el punto P trazamos cualquier recta secante o tangente a la circunferencia se cumple:
p = PA · PB = PC · PD = PE · PE = constante
Si el punto P es interior a la circunferencia, la potencia es negativa.
2.6.2. Eje radical de dos circunferencias
Dadas dos circunferencias, se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias:
MA · MB = MC · MD
El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.
Eje radical de dos circunferencias secantes
Eje radical de dos circunferencias tangentes
Eje radical de dos circunferencias exteriores
2.6.3. Centro radical de tres circunferencias
Se llama centro radical de tres circunferencias al punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.
El centro radical se encuentra en el punto de intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos.