PROBLEMA E.13
Un satélite de telecomunicaciones se quiere poner en una órbita circular a una altura de 4000 km. Durante la fase de lanzamiento se produce un error en el tiempo de quemado del lanzador y se pierde contacto con el satélite durante los instantes previos a la inserción. Al cabo de un tiempo se puede retomar las comunicaciones, pero solo durante unos instantes, apenas unos segundos en los que solo se puede medir la velocidad, la altura sobre la tierra, y el ángulo que forma el radio vector con el vector velocidad :
h1 = 4200 km V1 = 5.5 km/s ψ1 = 75◦
1. Determinar el tipo de órbita en la que se encuentra el satélite en el momento de la inserción, elparámetro p, su excentricidad (e) y la anomalia verdadera (θi).
2. Determinar la velocidad (V2), la anomalia verdadera (θ2), y el ángulo (ψ2) que forma el radio vector con el vector velocidad en el momento en el que interseccione con la orbita a la que estaba originalmente previsto insertar el satélite (hf = 4000 km).
3. Si en el punto de intersección calculado en el apartado anterior se decidiese cambiar a la órbitacircular (maniobra con un solo impulso), calcular el incremento de velocidad y la dirección en la que hay que proporcionar impulso para realizar el cambio de órbita.
4. Para ahorrar combustible, se decide estudiar dos maniobras más de cambio de órbita:
Transferencia de Hohmann, comenzando la maniobra en el apogeo de la órbita inicial.
Trasnferencia de Hohmann, comenzando la maniobra en el perigeo de la órbita inicial.
Calcular las velocidades características de estas dos maniobras, y decidir cual de las tres estudiadas es la más económica.
Datos: radio de la Tierra, RT =6378 km; parámetro de gravitación de la Tierra, µ=3.986×105km3/s2.
Nota: las relaciones entre los parámetros geométricos de la órbita (p y e) y los físicos (h y E) son:
h2 p =
µ
e
1. Apartado 1
El tipo de órbita en la que se encuentra el satélite en el momento en el que se captan los datos numéricos referente a las propiedades del satñelite viene dado por la ecuación de la órbita:
p
r =
1+ecosθ
donde el radio es ri = h1+RT = 4200+6378 = 10578 km, y el parámetro p viene dado por:
h2 p =
µ
donde la cantidad de momento cinético h viene dada por
h = r1·V1·sinψ1 = 10578·5,5·sin75◦= 56197km2/s
por lo que
h2
p7922,9 km
3 986 10 km
La energía de la órbita viene dada por
5
Es2
por lo que se puede deducir que la órbita es cerrada, por lo que se procede a calcular la excentricidad mediante la relacione:
e
lo que confirma que es una órbita elíptica. por loq ue solo nos queda calcular la anomalia verdadera en la que se encuentra el satélite en el momento de recibir los datos de comunicación:
ri
2. Apartado 2
Lo que se está pidiendo es determinar la velocidad (V2), la anomalía verdadera (θ2) y el ángulo que forma el radiovector con la velocidad (ψ2) en el punto donde intersectan la órbita de inserción (elíptica) y la órbita circular objetivo; es decir, cuando el módulo del radiovector sea igual al radio de la circunferencia: r2= h2+RT = 4000 +6378 = 10378 km
En primer lugar, a partir de la ecuación de la elipse calculada en el apartado anterior, se puede calcular la anoma?ia verdadera:
r
por lo que la anomalía verdadera será:
137,4022o
θ2 = arccos(−0,7361)= { 222,5978o }
Nótese que existen dos posibles puntos de intersección entre las curvas (ver figura )
Figura 1: Esquema de la intersección entre la órbita de inserción y la órbita objetivo
Como la anomalía verdadera del punto de insercción es θi = 141,3556o, el primer punto de intersección por el que pasará el satélite será: θ2 = 222,5978o. Téngase en cuenta que por convenio, los satélites siempre se mueven en el sentido creciente de la anomalía verdadera.
Para determinar la velocidad (V2), sólo es necesario observar que como la Energía se conserva (será igual a la calculada en el apartado anterior), de modo que:
E s
Por último, acudiendo a la conservación del momento cinético, se puede calcular el ángulo ψ2:
h = r2·V2·sinψ2 = 5,6197·104km2/s → sin(ψ2)=
h = 0,9617
r2·V2
por lo que el ángulo buscado será:
Como puede verse en la figura 3, por el cuadrante donde se encuentra el primer punto de intersección, el ángulo buscado será:
ψ2 = 105,9036◦
Figura 2: Esquema de la maniobra de cambio de órbita en el punto de insercción
3. Apartado 3
A continuación se va a calcular el incremento de velocidad y la dirección en la que debe ser dado el impulso para cambiar de la órbita de inserción a la órbita objetivo en el punto de intersección del apartado anterior. El esquema de la maniobra puede verse en la figura 2.
Aplicando el teorema del coseno, el módulo del incremento de velocidad vendrá dado por la expresión:
donde el ángulo entre la velocidad inicial y la final es: φ=ψ2−90◦ = 15,9036◦
Puesto que V2 se conoce del apartado anterior, sólo falta calcular la velocidad circular de la órbita objetivo:
Vc s
Con esto, el incremento de velocidad necesario para la manobra será:
∆V =q5,63052+6,19742−2·5,6305·6,1974·cos(15,9036◦)= 1,7299km/s
Para calcular el ángulo con que hay que proporcionar el impuslo (ψ∆V), hay que tener en cuenta que:
sin(ψ∆V)= V
c sin(φ) = 0,9817 ⇒ ψ∆V = arcsin(0,9817)= 79,0120◦ ∆V
4. Apartado 4
Por último, en este apartado se van a calcular las velocidades características de las dos posibles trasnsferencias de Hohmann entre la órbita elíptica de inserción y la órbita circular objetivo.
Antes de calcular las velocidades características, se va a exponer la notación que se va a usar para las distintas velocidades. Así, las velocidades tendrán dos subíndices: el primero corresponde al punto donde se calcula la velocidad, mientras que el segundo se corresponde con la órbita que se está tratando. Por ejemplo, VA,t corresponde a la velocidad en el punto A de la órbita t.
Figura 3: Transferencias de Hohmann entre la órbita elíptica inicial y la órbita circular final
Comenzando por la primera órbita de trasnferencia (la que comienza en el apogeo de la órbita elíptica incial), a continuación se va a calcular la velocidad característica de la maniobra.
donde los semiejes de ambas elipses son:
ae 8835,4km
rA +rB
at =
= 11026km
2
Con esto resulta:
∆V1= 0,8552km/s
Para el segundo impulso:
= −0,1796km/s
Por tanto, la velocidad característica de la misión usando esta transferecia de Hohmann será:
∆VT = |∆V1|+|∆V2| = 1,0348km/s
Respecto a la maniobra de transferencia de Hohmann comenzando en el perigeo de la órbita elíptica inicial, el procedimiento será exactamente el mismo, sólo cambia el semieje de la órbita de transferencia y los radios de los puntos donde se dan los impulsos; esto es:
rA =
p = 5995,9km, rB = r2 = 10378km, at = rA +rB = 8187,km 1+e 2
Los impulsos necesarios son:
= −0,1926km/s
s
∆VT = |∆V1|+|∆V2| = 1,0863km/s
Con todo esto, puede comprobarse que resulta más económica la transferencia de Hohmann comenzando en el apogeo de la órbita inicial.