Embedded Files
Enunciado del Problema
Una empresa desea construir un tobogán de forma helicoidal cuya superficie de deslizamiento corresponde al trozo de helicoide recto de parametrización
,
La empresa quiere saber qué cantidad de chapa será necesario emplear para construir la superficie de deslizamiento. Proporciónese un resultado aproximado utilizando la fórmula de cuadratura del trapecio compuesta con 3 nodos equidistantes. Considérese el metro como unidad de longitud.
Por motivos de seguridad se debe poner una pared lateral vertical de 25 cm. de altura en cada borde de la superficie de deslizamiento. ¿Qué cantidad de pintura será necesaria para pintar las paredes de protección si se usa un kilo de pintura por metro cuadrado?
Se considera el campo de fuerzas dado por
donde es una cierta constante positiva. Supongamos que una pelota (unipuntual) se encuentra situada en la parte superior del tobogán, en el punto
.
Si la pelota se desliza a lo largo de la q-curva l=3/2 hasta la base del tobogán, ¿qué trabajo realiza el campo F sobre la pelota en este desplazamiento?
Supongamos ahora que la pelota cae al suelo verticalmente en vez de deslizarse por el tobogán. ¿En cuál de los dos desplazamientos el trabajo realizado por F será mayor?
Por último, consideremos el caso en que la caída no sea vertical (el punto en que la pelota toca el suelo cambiará). ¿Depende el trabajo de la trayectoria que siga la pelota?, ¿Por qué?
Enunciado
Para ver el enunciado del problema pincha aquí
.
Si quieres mantener el enunciado en una ventana, pincha acá
.
Resolución
Paso 1. Lee con atención el enunciado del problema
Paso 2. ¿Qué necesitas saber para resolver el problema?
Conceptos con los que se trabaja en las distintas partes del problema:
enunciado general
Geometría diferencial de superficies
.
apartado 1)
Área de una porción de superficie
.
Fórmulas de cuadratura para aproximación numérica de una integral definida.
Cálculo de la longitud de una curva sobre una superficie
.
apartado 2)
Curvas sobre superficies, curvas paramétricas
.
Trabajo realizado por un campo a lo largo de una línea
.
Campo conservativo
.
Paso 3. Haz uno o varios dibujos que reflejen las situaciones descritas en el enunciado.
Paso 4. Comienza a resolver el problema:
apartado 1)
En el primer subapartado se trata de calcular el área de una porción de superficie.
¿Cuál es el elemento de área para este caso?
Plantea la integral doble que proporciona el área pedida.
Calcula hasta obtener una integral en una sola variable y calcula esta última mediante una fórmula de cuadratura. ¿Conoces la regla compuesta del trapecio? Si en el enunciado se piden tres nodos equidistantes, ¿quiénes serán esos puntos? ¿qué otro dato necesitas para usar la fórmula compuesta del trapecio?
En el segundo subapartado se construyen paredes verticales sobre los bordes del tobogán.
¿Cuál es la parametrización de las curvas que definen dichos bordes? ¿Cuál será la longitud de dichas curvas?
Considera la altura de las paredes, ¿dicha altura se mide sobre la dirección normal a los bordes o sobre la vertical al suelo? Teniendo esto en cuenta, el desarrollo plano de las paredes, ¿será un rectángulo o un trapecio? ¿Cuál es su área?
apartado 2)
Ahora de trata del cálculo del trabajo de un campo a lo largo de una trayectoria (integral de línea). Si estudiamos detenidamente la expresión de dicho campo, ¿qué observamos? ¿De qué tipo es este campo de fuerzas?
En el primer subapartado podemos optar por calcular la integral de línea pedida, pero, teniendo en cuenta el tipo de campo con el que trabajamos, ¿hay alguna otra manera de obtener la solución?
¿Necesitamos realizar algún cálculo adicional para contestar los otros dos subapartados o es posible contestar inmediatamente con los conocimientos de que ya disponemos?
Page updated
Google Sites
Report abuse