Ecuación de Kepler

Ecuaciones de Kepler y Ecuación del Centro

Contenidos

Introducción

Esta página trata sobre el problema del cálculo de la anomalía verdadera de un planeta en una órbita elíptica alrededor del Sol. Describiré tres métodos para llevar a cabo este cálculo a partir de la anomalía media y la excentricidad:

- Iteración simple
- Método de Newton
- La ecuación del Centro como una serie de potencias de la excentricidad

Teoría elemental

La ley de Kepler de las áreas dice que el área barrida por el radio vector del planeta en órbita alrededor del Sol es constante para periodos de tiempo iguales. Dado que la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, esto significa que el planeta irá mas rápido cerca del perihelio y más lento cerca del afelio.

Si se quiere encontrar la posición de un planeta en el cielo, se necesita encontrar la posición del planeta en su propia órbita. Se necesita un modo de calcular la longitud del planeta en su órbita a cada instante.

En términos más precisos, se necesita calcular la anomalía verdadera (v) en función de la anomalía media (M).

Anomalía verdadera

Si el Sol está en uno de los focos de la elipse (f) y el planeta está en la posición P y el perihelio es A, entonces la anomalía verdadera es el ángulo AfP.

Anomalía media

Si nos imaginamos un pequeño círculo dentro de la órbita y centrado en el Sol, entonces la anomalía media es el ángulo entre el perihelio A, el foco de la elipse ocupado por el Sol y la posición que ocuparía el planeta si se moviera con velocidad angular constante (P1).

Kepler conocía estas dos relaciones:

E - e sen(E) = M (Ecuación de Kepler) tan(v/2) = sqr((1 + e)/(1 - e)) * tan(E/2)

La segunda ecuación es fácil de evaluar si se conoce la anomalía excéntrica E. La primera ecuación es mucho más difícil de resolver, ya que la incógnita aparece dos veces, una en una función trigonométrica.

Existen dos estrategias principales, bien resolver la ecuación de Kepler mediante un método iterativo (o de ensayo y error) o bien obtener un desarrollo en serie para la anomalía excéntrica en términos de la anomalía media y la excentricidad. Este último método se conoce como la "ecuación del centro". Para una completa explicación de lo expuesto en esta sección consultar Smart, Cap. V, secciones 67 a 73.

Método iterativo simple

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Podemos resolver la ecuación de Kepler un procedimiento iterativo. En un procedimiento iterativo, proponemos un valor inicial , usamos una fórmula de iteración para obtener una estimación mejorada de la anomalía excéntrica y utilizamos este nuevo valor en la fórmula de iteración para obtener una aproximación todavía mejor. Finalizamos el cálculo cuando la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas es menor que la exactitud deseada. Con este valor de la anomalía excéntrica calculamos el valor de la anomalía verdadera en la segunda ecuación.

Para la ecuación de Kepler podemos usar el siguiente esquema:

E₀ = M E₁ = M + e * sen (E₀) E₂ = M + e * sen (E₁) E₃ = M + e * sen (E₂) y así hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas de E sea menor que 0.000001 radianes

Ajustar una hoja de cálculo para obtener estas aproximaciones sucesivas es bastante sencillo, para Mercurio (excentricidad 0.205635, según los elementos orbitales) y una anomalía media de 1.2 radianes, tenemos la siguiente serie de aproximaciones:

e = 0.205635 M = 1.2 E₁ = 1.391660 E₂ = 1.402344 E₃ = 1.402724 E₄ = 1.402737 E₅ = 1.402738 E₆ = 1.402738 E₇ = 1.402738

En la sexta iteración ya obtenemos la exactitud deseada ( la diferencia es menor que 0.000001 radianes). Las fórmulas que aparecen a continuación pueden pegarse directamente en las celdas B1:B9 de una hoja de cálculo:

0.205635 1.2 =$b$2+$b$1*seno(b2) =$b$2+$b$1*seno(b3) =$b$2+$b$1*seno(b4) =$b$2+$b$1*seno(b5) =$b$2+$b$1*seno(b6) =$b$2+$b$1*seno(b7)

Este método iterativo puede requerir un gran número de iteraciones para que converja cuando los valores de la excentricidad son grandes. Como un ejemplo, a continuación aparecen los valores de las sucesivas iteraciones para e = 0.999 y M = 150º (convertida a radianes):

e = 0.999 M = 2.617993878 E1 = 3.117494 E2 = 2.642066 E3 = 3.096525 E4 = 2.663001 E5 = 3.078062 E6 = 2.681418 E7 = 3.061654 E8 = 2.697767 E9 = 3.046962 E10 = 2.712389 E11 = 3.033725 E12 = 2.725545 E13 = 3.021738 E14 = 2.737442 E15 = 3.010838 E16 = 2.748245 E17 = 3.000893 E18 = 2.758090 E19 = 2.991791 E20 = 2.767087 E21 = 2.983441

Como se puede ver, las estimaciones sucesivas de la anomalía excéntrica convergen hacia dos valores ligeramente diferentes, y de hecho la ecuación de Kepler es una ecuación logística. Para los nueve planetas, estas consideraciones no se aplican y el método siempre convergerá a la millonésima del radián en ( iteraciones como máximo. Consultad el libro de Meeus para más detalles sobre la convergencia de este método y el de Newton.

Alguna hojas de cálculo permiten referencias circulares en las fórmulas de las celdas. Esto significa que puedes tener una fórmula en una celda que contenga referencias a la celda en la que está la fórmula. Microsoft Excel te permite esto y en la caja de diálogo Herramientas | Opciones | Calcular la sección Iteración sirve para controlar el número máximo de iteraciones y el cambio máximo entro dos iteraciones sucesivas. Esto permite usar una fórmula muy sencilla para resolver la ecuación de Kepler. Copia las siguientes tres líneas en las celdas A1 a A3 de MS Excel:

0.205635 1.2 =a2+a1*seno(A3)

El valor en la celda A3 debería converger a 1.402737872 radianes para la anomalía excéntrica.

La ecuación de Kepler usando el método de Newton

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- Método manual
- Función Anomalía excéntrica en VBA para Excel

Método manual

En estos días de calculadoras programables baratas, es posible calcular la anomalía verdadera a partir de la anomalía media y de la excentricidad resolviendo la ecuación de Kepler mediante un método iterativo.

La resolución de la ecuación de Kepler da la anomalía excéntrica (E) para el planeta en una órbita de excentricidad conocida (e). Se puede calcular la anomalía verdadera (v) mediante la ecuación:

tan (v/2) = sqr ((1 + e)/(1 - e))*tan (E/2)

Un esquema eficiente de iteración para resolver la ecuación de Kepler usa el método de Newton y a continuación se muestra un método de cálculo manual (consultar Duffett-Smith, sección 47):

Todos los ángulos en radianes

Para resolver E - e * sen (E) = M

eps = parámetro de precisión Normalmente 10e-7 es correcto para calculadoras de 10 dígitos, usa 10e-5 si haces el cálculo a mano

1) Sea E = E₀ = M (1ª aproximación)

2) Calcula el valor de d = E - e * sen (E) - M

3) Si abs(d) < eps ves al paso 6

si no

ves al paso 4

4) Calcula DE = d / (1 - e * cos (E))

5) Toma una nueva aproximación para E como E1 = E - DE

ves al paso 2

6) El valor actual de E es correcto para la exactitud eps

7) Calcula tan (v/2) = sqr((1 + e)/(1 - e))* tan (E/2)

8) Calcula el atn del valor anterior, multiplícalo por 2 y pásalo a grados para obtener la anomalía verdadera v

El procedimiento anterior proporciona valores correctos para la anomalía verdadera, pero pueden ser necesarias un gran número de iteraciones, especialmente para valores de excentricidad grandes. Este método se vuelve inestable para ciertos valores de anomalía media y excentricidad mayor que 0.99. Si estás interesado en cometas, el método de la bisección podría ser más estable.

Función Anomalía excéntrica en VBA para Excel

A continuación se muestra una función para Visual Basic para Aplicaciones, donde introduciendo la anomalía media (M), la excentricidad (e) y el parámetro de precisión (eps) se obtiene la anomalía excéntrica (e). Date cuenta que eps es un entero positivo y que la anomalía excéntrica dada como resultado está dentro del intervalo e_v ± 10^-eps.

Function eckepler (m, ex, eps) ' resuelve la ecuación E - e * sen(E) = M ' m - anomalía media ' ex - excentricidad de la órbita ' eps - parámetro de precisión e = m '1ª aproximación delta = 0.05 Do While Abs(delta) >= 10^ -eps delta = e - ex *sin(e) -m e = e -delta / (1 - ex *cos(e)) Loop eckepler = e End Function

Para usar esta función en Excel, hay que insertar un nuevo módulo en la hoja de cálculo donde vaya a ser utilizada y copiar el texto en la ventana en blanco del módulo. En esa hoja de cálculo se puede entonces usar eckpler() como cualquier otra función.

Ecuación del Centro hasta la 3ª potencia de la excentricidad

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La ecuación del centro en un desarrollo en serie en términos de la la anomalía media que da una aproximación de la anomalía verdadera. Es una serie de potencias para la excentricidad y trigonométrica para múltiplos de la anomalía media. En el libro de Smart, capítulo V, secciones 72 y 73 se muestra una manera de obtener la ecuación de esta serie.

El Astronomical Almanac da la siguiente versión de la ecuación del centro, expresada como una serie de potencias hasta el tercer término:

v = M + (2e - 0.25 * e^3) * sin(M) + 1.25 * e^2 * sin(2 * M) + 13/12 * e^3 * sin(3 * M) donde todos los ángulos se expresan en radianes

A continuación se presenta una función en VB que calcula la anomalía verdadera haciendo uso de esta serie para su uso tanto en un programa independiente como en una hoja de Excel:

Function kep3 (m as double, e as double) as double m1 = sin(m) m2 = sin(2 * m) m3 = sin(3 * m) a1 = 2 * m1 a2 = 1.25 * m2 a3 = -.25 * m1 + (13/12) * m3 kep3a = m + e * (a1 +e * (a2 + e* a3)) End Function

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