Un número trascendente, también número trascendental, es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes enteros. En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Los números trascendentes más conocidos son sin duda π y e.

En general, si tenemos dos cuerpos

y de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que es trascendente sobre si no existe ningún polinomio

del que es raíz ().

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable.

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (

) lo es, siendo

= , cuando .

De hecho, ni siquiera se sabe si

es racional o irracional.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Historia

La denominación «trascendental» la acuñó Leibniz cuando en un artículo de 1682 demostró que la función no es una función algebraica de

, posteriormente Euler definió los números trascendentes en el sentido moderno. La existencia de los números trascendentes fue finalmente probada en 1844 por Joseph Liouville, en 1851 mostró algunos ejemplos entre los que estaba la «constante de Liouville»:

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos (véase Número construible) es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Ejemplos

Una lista de los números trascendentes más comunes:

• e

• π

• o, de forma más general, donde es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si

• es trascendental cuando es algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el teorema de Gelfond-Schneider.

• si a es positivo, racional y diferente de 1. Véase logaritmo natural

• y (véase función Gamma).

• número de Champernowne: C₁₀ = 0.123456789101112131415161718192021...

• , constante de Chaitin.

donde

es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...

número de Liouville

Un número transcendente es un número que no es un número algebraico (es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales).

Algunos ejemplos de números transcendentes son π y e

Números de Liouville

Ya en 1844, Joseph Liouville estudió este número:

Es un número muy interesante porque:

• es irracional, y

• además no es solución de ninguna ecuación polinomial así que no es algebraico.

De hecho, Joseph Liouville acababa de encontrar el primer número transcendente que se podía demostrar que lo era.

Ese número se conoce ahora como la constante de Liouville. Y es un número de Liouville.

Un número de Liouville es un tipo especial de número transcendente que se puede aproximar muy de cercacon números racionales.

Más formalmente es un número real x, con la propiedad de que, para cada entero positivo n, existen dos enteros p y q (con q>1) que cumplen:

Ahora sabemos que x es irracional, así que siempre habrá alguna diferencia entre x y todos los p/q: por eso la parte de "0<".

Pero la segunda desigualdad te dice lo pequeña que es la diferencia. De hecho la desigualdad dice que "el número puede ser aproximado infinitamente, pero nunca se puede llegar". De hecho Liouville consiguió demostrar que si un número tiene aproximaciones racionales que se le acercan rápidamente, el número es transcendente.

Otra propiedad interesante es que para cada entero positivo n, existe un número infinito de pares de enteros (p,q) que cumplen la desigualdad.

Más números transcendentes

Hubo que esperar hasta 1873 para el primero número "no construido" que fuera transcendente, cuando Charles Hermite demostró que e es transcendente.

Después en 1884, Ferdinand von Lindemann publicó una prueba de que π es transcendente.

De hecho, demostrar que un número es transcendente es bastante difícil, aunque se sepa que son muy comunes...

Los números transcendentes son comunes

Casi todos los números reales son transcendentes. El argumento para verlo es:

• Los números algebraicos son "numerables" (por decirlo simplemente, la lista de números enteros es "numerable", y puedes ordenar los números algebraicos para que vayan de par en par con los números enteros, así que también son numerables.)

• Pero los números reales no son "numerables".

• Y como cada número real es algebraico o transcendente, los transcendentes deben ser "no numerables".

• Así que hay muchos más transcendentes que algebraicos.

Funciones transcendentes

Así como un número transcendente "no es algebraico", una función transcendente también es "no algebraica". Más formalmnte, una función transcendente es una función que no se puede construir en un número finito de pasos a partir de las funciones elementales y sus inversas, por ejemplo la función seno Sin(x).