Integrales sobre superficies

Integrales sobre superficies

Integral de superficie

Supongamos que S es una superficie de IR³ que viene parametrizada por

y que esta parametrización es regular excepto, quizá, en un número finito de puntos.

Definición Si f(x,y,z) es una función real continua sobre la superficie S, la integral de f sobre S se define como

Aplicación: la integral de superficie de la función idénticamente 1 da el área de superficie:

Definición Si F(x,y,z) es un campo vectorial continuo sobre la superficie S, se define la integral de F sobre S como

La integral de superficie de un campo vectorial F sobre una superficie S recibe también el nombre de flujo de F a través de S por extensión del caso físico del campo de velocidades de un fluido. Además, se puede expresar como la integral de un campo escalar sobre dicha superficie. Este campo escalar es la componente normal de F sobre la superficie como vemos en la siguiente fórmula

Integral de superficie y orientación

Teorema Sea S una superficie orientada y sean r₁ y r₂ dos parametrizaciones C¹ de una misma superficie que están relacionadas por un cambio admisible de parámetro. Si f es un campo vectorial continuo sobre S, entonces

Si F es un campo vectorial continuo sobre S, entonces

1.- cuando el cambio de parámetro conserva la orientación

2.- cuando el cambio de parámetro cambia la orientación